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|---|---|---|---|---|---|---|
| 『算法』概述 | 数据结构与算法 |
|
true |
1. 算法
定义良好的计算过程,取输入,并产生输出. 即算法是一系列的计算步骤,将输入数据转化为输出结果
2. 可以解决哪些类型的问题
- 大数据的存储,以及开发出进行这方面数据分析的工具
- 网络数据的传输,寻路, 搜索
- 电子商务密码, (数值算法,数论)
- 资源分配,最大效益
- ...
3. 算法分析
衡量算法的优劣
\omicron,O,\Omega,\Theta- 最坏情况, 平均情况
- 增长的量级
O(1),O(logn), O(n), O(n^k), O(a^n)
4. 算法设计
4.1. 分治(divide and conquer)
结构上是递归的, 步骤: 分解,解决, 合并 eg 快排,归并排序
5. 递归式
T(n) = aT(\frac{n} {b})+f(n)
5.1. 代换法
5.1.1. 步骤
- 猜测解的形式
- 用数学归纳法找出常数
5.1.2. 例子
$T(n) = 2T(\frac{n} {2})+n$
猜测$T(n) = O(nlogn)$
证明 $ T(n)\leqslant cnlogn$
归纳奠基 n=2,3
归纳假设 $T(\frac{n} {2}) \leqslant \frac{cn}{2}$
递归
$
\begin{aligned}
T(n) &\leqslant 2c\frac{n}{2}log(\frac{n}{2}) + n \leqslant cnlog(\frac{n}{2}) \
\end{aligned}
$
5.1.3. 放缩
对于 $T(n) = 2T(\frac{cn}{2}) + 1$
如果 直接猜测 T(n) = O (n) 不能证明,
而且不要猜测更高的界 $O (n^2)$
可以放缩为 n-b
5.1.4. 改变变量
对于 $ T(n) = 2T(\sqrt{n})+logn $
可以 令 m = logn, 得到
$T(2^m) = 2T(m^{\frac{m}{2}}) + m $
令 $S(m) = T(2^m)$
得到 S(m) = 2S(\frac{m}{2}) + m
5.2. 递归树
例如 $T(n) = 3T(\frac{n}{4}) + c n^2$
不妨假设 n 为4的幂, 则有如下递归树
每个结点是代价, 将每层加起来即可
5.3. 主方法(master method)
对于 T(n) = aT(\frac{n} {b})+f(n)
\begin{aligned}
T(n)=\begin{cases}
\Theta(n^{log_b a}),\quad f(n)=O(n^{ {log_b a}-\epsilon}) \\
\Theta(n^{log_b a}logn),\quad f(n)=\Theta(n^{log_b a}) \\
\Theta(f(n)),\quad f(n)=\Omega(n^{ {log_b a}+ \epsilon}),af(\frac{n}{b})\leqslant cf(n) \\
\qquad \qquad \quad \text{其中常数c<1,变量n任意大} \\
unknown, \quad others
\end{cases}
\end{aligned}
5.3.1. 记忆
直观上, 比较 n^{log_b a} 和 f(n), 谁大就是谁,
这里的大是多项式上的比较, 即比较次数, 而不是渐近上的
比如 n 与 nlogn 渐近上后者大, 但多项式上是不能比较的
5.3.2. 证明
5.3.2.1. 证明当 n 为 b 的正合幂时成立
- 用递归树可以得到 总代价为
\sum_{j=0}^{log_b n-1} a^j f(\frac{n}{b^j}) - 决定上式的渐近界
- 结合前两点
5.3.2.2. 分析扩展至所有正整数 n 都成立
主要是应用数学技巧来解决 floor, ceiling 函数的处理问题
6. 随机算法
6.1. 随机排列数组(shuffle)
6.1.1. PERMUTE-BY-SORTING
给出初始数组, eg A={1,2,3}, 选择随机的优先级 P={16,4,10} 则得出 B={2,3,1},因为第二个(2)优先级最小, 为4, 接着第三个,最后第1个. 优先级数组的产生, 一般在 RANDOM(1,n^3), 这样优先级各不相同的概率至少为 1-1/n
由于要排序优先级数组, 所以时间复杂度 O(nlogn)
如果优先级唯一, 则此算法可以 shuffle 数组
应证明 同样排列的概率是 \frac{1}{n!}
6.1.2. RANDOMIZE-IN-PLACE
# arr: array to be shuffled
n = len(arr)
for i in range(n):
swap(arr[i],arr[random(i,n-1)])
时间复杂度 $O(n)$
证明
定义循环不变式: 对每个可能的 A_n^{i-1} 排列, 其在 arr[1..i-1] 中的概率为 $\frac{1}{A_n^{i-1}}$
初始化: i=1 成立
保持 : 假设 在第 i-1 次迭代之前,成立, 证明在第 i 次迭代之后, 仍然成立,
终止: 在 结束后, i=n+1, 得到 概率为 \frac{1}{n!}
7. 组合方程的近似算法
- Stiring's approximation:
n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n - 对于
C_n^x=a, 有x=\frac{ln^2 a}{n} - 对于
C_x^n=a, 有x=(a*n!)^{\frac{1}{n}}+\frac{n}{2}
8. 概率分析与指示器变量例子
8.1. 球与盒子
把相同的秋随机投到 b 个盒子里,问在每个盒子里至少有一个球之前,平均至少要投多少个球?
称投入一个空盒为击中, 即求取得 b 次击中的概率
设投 n 次, 称第 i 个阶段包括第 i-1 次击中到 第 i 次击中的球, 则第 i 次击中的概率为 $p_i=\frac{b-i+1}{b}$
用 $n_i$表示第 i 阶段的投球数,则 $n=\sum_{i=1}^b n_i$
且 $n_i$服从几何分布, E(n_i)=\frac{b}{b-i+1},
则由期望的线性性,
E(n)=E(\sum_{i=1}^b n_i)=\sum_{i=1}^b E(n_i)=\sum_{i=1}^b \frac{b}{b-i+1}=b\sum_{i=1}^b \frac{1}{i}=b(lnb+O(1))
这个问题又被称为 赠券收集者问题(coupon collector's problem),即集齐 b 种不同的赠券,在随机情况下平均需要买 blnb 张
8.2. 序列
抛 n 次硬币, 期望看到的连续正面的次数
答案是 $\Theta(logn)$
记 长度至少为 k 的正面序列开始与第 i 次抛, 由于独立, 所有 k 次抛掷都是正面的 概率为
P(A_{ik})=\frac{1}{2^k},对于 $k=2\lceil lgn\rceil$
9. 摊还分析
9.1. 聚合分析(aggregate analysis)
一个 n 个操作的序列最坏情况下花费的总时间为T(n), 则在最坏情况下, 每个操作的摊还代价为 \frac{T(n)}{n}
如栈中的 push, pop 操作都是 O(1), 增加一个新操作 multipop,
def multipop(stk,k):
while not stk.empty() and k>0:
stk.pop()
k-=1
multipop 的时间复杂度为 min(stk.size,k), 最坏情况为 O(n), 则 n 个包含 push pop multipop 的操作列的最坏情况是 O(n^2), 并不是这样, 注意到, 必须栈中有元素, 再 pop, 所以 push 操作与pop 操作(包含 multipop中的pop), 个数相当, 所以 实际上应为 O(n), 每个操作的摊还代价 为O(1)
9.2. 核算法 (accounting method)
对不同操作赋予不同费用 cost (称为摊还代价 $c_i'$), 可能多于或者少于其实际代价 c_i
当 c_i'>c_i, 将 $c_i'-c_i$( credit) 存入数据结构中的特定对象.. 对于后续 $c_i'<c_i$时, 可以使用这些credit来 支付差额.. 有要求
\sum_{i}c_i' \geqslant \sum_{i}c_i如栈
| op | c_i' |
c_i |
|---|---|---|
| push | 2 | 1 |
| pop | 0 | 1 |
| multipop | 0 | min(s,k) |
由核算法, 摊还代价满足要求, 所以 n 个操作总代价 O(n), 每个操作摊还代价为 O(1)
9.3. 势能法(potential method)
势能释放用来支付未来操作的代价, 势能是整个数据结构的, 不是特定对象的(核算法是).
数据结构 $D_0$为初始状态, 依次 执行 n 个操作 $op_i$进行势能转换 D_i =op_i(D_{i-1}), i=1,2,\ldots,n , 各操作代价为 c_i
势函数 \Phi:D_i\rightarrow R, $\Phi(D_i)$即为 $D_i$的势
则第 i 个操作的摊还代价
c_i'=c_i+\Phi(D_i)-\Phi(D_{i-1})则
\sum_{i=1}^{n}c_i'=\sum_{i=1}^{n}c_i+\Phi(D_n)-\Phi(D_0)如果定义一个势函数\Phi, st \ \Phi(D_i)\geqslant\Phi(D_0), 则总摊还代价给出了实际代价的一个上界
可以简单地以 D_0 \text{为参考状态}, then \ \Phi(D_0)=0
例如栈操作,
设空栈为 D_0, 势函数定义为栈的元素数
对于push, $ \Phi(D_i)-\Phi(D_0)=1$
则 c' = c +\Phi(D_i)-\Phi(D_0) = c+1 = 2
对于 multipop, $ \Phi(D_i)-\Phi(D_0)=- min(k,s)$
则 c' = c - min(k,s) = 0
同理 pop 的摊还代价也是0, 则总摊还代价的上界(最坏情况) 为 O(n)