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author: Saisyc, 383494
\mathbf Z_p 上的 NTT 常用于替代 FFT 以提高效率，但是严重依赖模数：p 是 2^mk+1 型（如费马质数）时能快速计算，是 2^mk-1 型（如梅森质数）时却难以进行。
对此，Number theoretic transforms to implement fast digital convolution 中（section IX, subsection B, P559-560）的快速复数论变换（Complex Number Theoretic Transforms, CNTT）即 \mathbf Z_p[\mathrm{i}] 上的 DFT 能解决，但未被重视。
对于模 2^mk-1 型质数的卷积问题，CNTT 优于三模数 NTT 和拆系数 FFT。
DFT 可逆的条件
交换环 R 上的 DFT 可逆的充要条件是：存在 n 次本原单位根 \omega，且 \omega^1-1,\omega^2-1,\cdots,\omega^{n-1}-1 可逆。
模 p 高斯整数环
即 \mathbf Z_p[\mathrm{i}]。
为便捷，以下用 p_- 表示 4k-1 型质数，p_+ 表示 4k+1 型质数。
p_- 是高斯整数 \mathbf Z_p[\mathrm{i}] 的素元而 p_+ 不是，因此 \mathbf Z_{p_-}[\mathrm{i}] 是域而 \mathbf Z_{p_+}[\mathrm{i}] 上仍可进行 CNTT。
原理
在 CNTT 中，我们考虑 \mathbf Z_p[\mathrm{i}] 上的 Gauss 整数 a+b\mathrm{i}\in\mathbf Z_p[\mathrm{i}]，其中 p \in \mathbf{P}（\mathbf{P} 为素数集）。
原论文中假定 \mathrm{i}^2=-1，但经笔者手推，这里的 \mathrm{i}^2 不是必须为 -1（要求 4 \mid p-1），只要满足 \mathrm{i}^2 为模 p 意义下的一个二次非剩余即可：这样 CNTT 的模数也可使用 NTT 模数。
???+ note "构成数域的证明"
由于 \mathbf Z_p[\mathrm{i}] 为 \mathbf{C} 的子集，只要证明其对四则运算封闭。
加法幺元：$0$
乘法幺元：$1$
加法逆元：同 $\mathbf{C}$ 中加法逆元，对 $p$ 取模即可。
乘法逆元：对 $x = a+b\mathrm{i}$，其中 $a \not= 0 \vee b \not= 0$，设其逆元为 $y=c+d\mathrm{i}$，由 $xy=1$ 可知
$$
\begin{cases}
ac+bd\mathrm{i}^2 &= 1 & (1) \\
bc+ad &= 0 & (2)
\end{cases}
$$
当 $b \not= 0$ 时：由 $(2)$ 知 $c = -adb^{-1}$，代入 $(1)$ 中可得 $d = (b\mathrm{i}^2-b^{-1}a^2)^{-1}$。
若 $b\mathrm{i}^2-b^{-1}a^2 \equiv 0 \pmod p$，则 $\mathrm{i}^2 \equiv (ab^{-1})^2 \pmod p$，这与 $\mathrm{i}^2$ 是模 $p$ 意义下的一个二次非剩余矛盾，所以 $d$ 一定存在。
当 $a \not= 0$ 时，用相似的方法可以推出 $x^{-1} = y$ 一定存在。
由于加法和乘法运算封闭，且均存在逆元，因此 $\mathbf Z_p[\mathrm{i}]$ 对四则运算封闭。
这个数域的大小是 p^2，只要用一些方法找出 g = a+b\mathrm{i},g^{(p^2-1)/2} \equiv -1 \pmod p，则 g 就是我们要找的 p^2-1 次「原根」，剩下的和 NTT 类似。
p=n\cdot2^k+1 时（p 为 NTT 模数），用 CNTT 可以将最大变换长度翻倍；
p=n\cdot2^k-1 时，用 CNTT 后最大变换长度同样能取到 NTT 模数级别。
常用模数的单位根
\mathrm{i}^2 = -1, n=2^{21} 时 p_-=999292927=2^{20}\times953-1 的 p_-^2-1 次单位根 \omega=1+8\mathrm{i}；
\mathrm{i}^2 = -1, n=2^{23} 时 p_+=998244353=2^{23}\times119+1 的 p_+-1 次单位根 \omega=1+\mathrm{i}；
\mathrm{i}^2 = -1, n=2^{16} 时 p_+=65537=2^{16}+1 的 p_+-1 次单位根 \omega=4+17573\mathrm{i}；
\mathrm{i}^2 = 3, n=2^{31} 时 p_-=2147483647=2^{31}-1 的 p_-^2-1 次单位根 \omega=1+\mathrm{i}。
务必注意 \omega^{-1}\equiv\bar\omega\pmod p 不一定成立。
性能和应用
洛谷 P3803 评测记录 显示，按照Optimization of number-theoretic transform in programming contests实现的 NTT 及与其同构的 CNTT, FFT 进行 2^{21}\approx2.1\times10^6 长度的变换用时分别约为 44,97,115 毫秒。
对于 \mathrm{i}^2=3，模 998244353，2^{24} 次单位根为 0+125038983\mathrm{i}，无读入优化等优化的 CNTT，它的常数是同等条件下 FFT 和 NTT 的 3 倍左右；应用三次变两次优化后，CNTT 常数约等于无优化的 FFT。