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* [原理](#原理)
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* [1. 正常实现](#1-正常实现)
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* [2. 时间复杂度](#2-时间复杂度)
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* [3. m 计算](#3-m-计算)
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* [4. 返回值](#4-返回值)
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* [5. 变种](#5-变种)
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* [例题](#例题)
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* [1. 求开方](#1-求开方)
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* [2. 大于给定元素的最小元素](#2-大于给定元素的最小元素)
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* [3. 有序数组的 Single Element](#3-有序数组的-single-element)
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* [4. 第一个错误的版本](#4-第一个错误的版本)
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* [5. 旋转数组的最小数字](#5-旋转数组的最小数字)
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* [6. 查找区间](#6-查找区间)
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# 原理
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## 1. 正常实现
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```java
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public int binarySearch(int[] nums, int key) {
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int l = 0, h = nums.length - 1;
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while (l <= h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (nums[m] == key) {
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return m;
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} else if (nums[m] > key) {
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h = m - 1;
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} else {
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l = m + 1;
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}
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}
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return -1;
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}
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```
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## 2. 时间复杂度
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二分查找也称为折半查找，每次都能将查找区间减半，这种折半特性的算法时间复杂度为 O(logN)。
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## 3. m 计算
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有两种计算中值 m 的方式：
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- m = (l + h) / 2
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- m = l + (h - l) / 2
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l + h 可能出现加法溢出，最好使用第二种方式。
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## 4. 返回值
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循环退出时如果仍然没有查找到 key，那么表示查找失败。可以有两种返回值：
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- -1：以一个错误码表示没有查找到 key
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- l：将 key 插入到 nums 中的正确位置
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## 5. 变种
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二分查找可以有很多变种，变种实现要注意边界值的判断。例如在一个有重复元素的数组中查找 key 的最左位置的实现如下：
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```java
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public int binarySearch(int[] nums, int key) {
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int l = 0, h = nums.length - 1;
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (nums[m] >= key) {
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h = m;
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} else {
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l = m + 1;
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}
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}
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return l;
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}
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```
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该实现和正常实现有以下不同：
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- 循环条件为 l < h
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- h 的赋值表达式为 h = m
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- 最后返回 l 而不是 -1
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在 nums[m] >= key 的情况下，可以推导出最左 key 位于 [l, m] 区间中，这是一个闭区间。h 的赋值表达式为 h = m，因为 m 位置也可能是解。
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在 h 的赋值表达式为 h = mid 的情况下，如果循环条件为 l <= h，那么会出现循环无法退出的情况，因此循环条件只能是 l < h。以下演示了循环条件为 l <= h 时循环无法退出的情况：
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```text
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nums = {0, 1, 2}, key = 1
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l m h
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0 1 2 nums[m] >= key
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0 0 1 nums[m] < key
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1 1 1 nums[m] >= key
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1 1 1 nums[m] >= key
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...
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```
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当循环体退出时，不表示没有查找到 key，因此最后返回的结果不应该为 -1。为了验证有没有查找到，需要在调用端判断一下返回位置上的值和 key 是否相等。
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# 例题
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## 1. 求开方
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[69. Sqrt(x) (Easy)](https://leetcode.com/problems/sqrtx/description/)
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```html
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Input: 4
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Output: 2
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Input: 8
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Output: 2
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Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since we want to return an integer, the decimal part will be truncated.
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```
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一个数 x 的开方 sqrt 一定在 0 \~ x 之间，并且满足 sqrt == x / sqrt。可以利用二分查找在 0 \~ x 之间查找 sqrt。
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对于 x = 8，它的开方是 2.82842...，最后应该返回 2 而不是 3。在循环条件为 l <= h 并且循环退出时，h 总是比 l 小 1，也就是说 h = 2，l = 3，因此最后的返回值应该为 h 而不是 l。
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```java
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public int mySqrt(int x) {
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if (x <= 1) {
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return x;
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}
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int l = 1, h = x;
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while (l <= h) {
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int mid = l + (h - l) / 2;
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int sqrt = x / mid;
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if (sqrt == mid) {
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return mid;
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} else if (mid > sqrt) {
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h = mid - 1;
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} else {
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l = mid + 1;
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}
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}
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return h;
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}
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```
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## 2. 大于给定元素的最小元素
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[744. Find Smallest Letter Greater Than Target (Easy)](https://leetcode.com/problems/find-smallest-letter-greater-than-target/description/)
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```html
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Input:
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letters = ["c", "f", "j"]
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target = "d"
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Output: "f"
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Input:
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letters = ["c", "f", "j"]
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target = "k"
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Output: "c"
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```
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题目描述：给定一个有序的字符数组 letters 和一个字符 target，要求找出 letters 中大于 target 的最小字符，如果找不到就返回第 1 个字符。
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```java
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public char nextGreatestLetter(char[] letters, char target) {
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int n = letters.length;
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int l = 0, h = n - 1;
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while (l <= h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (letters[m] <= target) {
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l = m + 1;
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} else {
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h = m - 1;
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}
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}
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return l < n ? letters[l] : letters[0];
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}
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```
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## 3. 有序数组的 Single Element
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[540. Single Element in a Sorted Array (Medium)](https://leetcode.com/problems/single-element-in-a-sorted-array/description/)
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```html
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Input: [1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 8, 8]
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Output: 2
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```
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题目描述：一个有序数组只有一个数不出现两次，找出这个数。要求以 O(logN) 时间复杂度进行求解。
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令 index 为 Single Element 在数组中的位置。如果 m 为偶数，并且 m + 1 < index，那么 nums[m] == nums[m + 1]；m + 1 >= index，那么 nums[m] != nums[m + 1]。
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从上面的规律可以知道，如果 nums[m] == nums[m + 1]，那么 index 所在的数组位置为 [m + 2, h]，此时令 l = m + 2；如果 nums[m] != nums[m + 1]，那么 index 所在的数组位置为 [l, m]，此时令 h = m。
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因为 h 的赋值表达式为 h = m，那么循环条件也就只能使用 l < h 这种形式。
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```java
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public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
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int l = 0, h = nums.length - 1;
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (m % 2 == 1) {
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m--; // 保证 l/h/m 都在偶数位，使得查找区间大小一直都是奇数
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}
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if (nums[m] == nums[m + 1]) {
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l = m + 2;
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} else {
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h = m;
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}
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}
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return nums[l];
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}
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```
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## 4. 第一个错误的版本
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[278. First Bad Version (Easy)](https://leetcode.com/problems/first-bad-version/description/)
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题目描述：给定一个元素 n 代表有 [1, 2, ..., n] 版本，可以调用 isBadVersion(int x) 知道某个版本是否错误，要求找到第一个错误的版本。
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如果第 m 个版本出错，则表示第一个错误的版本在 [l, m] 之间，令 h = m；否则第一个错误的版本在 [m + 1, h] 之间，令 l = m + 1。
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因为 h 的赋值表达式为 h = m，因此循环条件为 l < h。
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```java
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public int firstBadVersion(int n) {
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int l = 1, h = n;
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while (l < h) {
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int mid = l + (h - l) / 2;
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if (isBadVersion(mid)) {
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h = mid;
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} else {
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l = mid + 1;
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}
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}
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return l;
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}
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```
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## 5. 旋转数组的最小数字
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[153. Find Minimum in Rotated Sorted Array (Medium)](https://leetcode.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/description/)
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```html
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Input: [3,4,5,1,2],
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Output: 1
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```
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```java
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public int findMin(int[] nums) {
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int l = 0, h = nums.length - 1;
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (nums[m] <= nums[h]) {
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h = m;
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} else {
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l = m + 1;
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}
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}
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return nums[l];
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}
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```
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## 6. 查找区间
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[34. Search for a Range (Medium)](https://leetcode.com/problems/search-for-a-range/description/)
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```html
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Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
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Output: [3,4]
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Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
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Output: [-1,-1]
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```
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```java
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public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
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int first = binarySearch(nums, target);
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int last = binarySearch(nums, target + 1) - 1;
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if (first == nums.length || nums[first] != target) {
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return new int[]{-1, -1};
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} else {
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return new int[]{first, Math.max(first, last)};
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}
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}
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private int binarySearch(int[] nums, int target) {
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int l = 0, h = nums.length; // 注意 h 的初始值
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (nums[m] >= target) {
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h = m;
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} else {
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l = m + 1;
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}
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}
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||
return l;
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}
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```
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