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* [数学模型](#数学模型)
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* [1. 近似](#1-近似)
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* [2. 增长数量级](#2-增长数量级)
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* [3. 内循环](#3-内循环)
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* [4. 成本模型](#4-成本模型)
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* [注意事项](#注意事项)
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* [1. 大常数](#1-大常数)
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* [2. 缓存](#2-缓存)
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* [3. 对最坏情况下的性能的保证](#3-对最坏情况下的性能的保证)
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* [4. 随机化算法](#4-随机化算法)
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* [5. 均摊分析](#5-均摊分析)
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* [ThreeSum](#threesum)
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* [1. ThreeSumSlow](#1-threesumslow)
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* [2. ThreeSumBinarySearch](#2-threesumbinarysearch)
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* [3. ThreeSumTwoPointer](#3-threesumtwopointer)
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* [倍率实验](#倍率实验)
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# 数学模型
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## 1. 近似
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N<sup>3</sup>/6-N<sup>2</sup>/2+N/3 \~ N<sup>3</sup>/6。使用 \~f(N) 来表示所有随着 N 的增大除以 f(N) 的结果趋近于 1 的函数。
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## 2. 增长数量级
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N<sup>3</sup>/6-N<sup>2</sup>/2+N/3 的增长数量级为 O(N<sup>3</sup>)。增长数量级将算法与它的具体实现隔离开来，一个算法的增长数量级为 O(N<sup>3</sup>) 与它是否用 Java 实现，是否运行于特定计算机上无关。
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## 3. 内循环
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执行最频繁的指令决定了程序执行的总时间，把这些指令称为程序的内循环。
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## 4. 成本模型
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使用成本模型来评估算法，例如数组的访问次数就是一种成本模型。
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# 注意事项
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## 1. 大常数
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在求近似时，如果低级项的常数系数很大，那么近似的结果是错误的。
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## 2. 缓存
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计算机系统会使用缓存技术来组织内存，访问数组相邻的元素会比访问不相邻的元素快很多。
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## 3. 对最坏情况下的性能的保证
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在核反应堆、心脏起搏器或者刹车控制器中的软件，最坏情况下的性能是十分重要的。
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## 4. 随机化算法
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通过打乱输入，去除算法对输入的依赖。
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## 5. 均摊分析
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将所有操作的总成本除于操作总数来将成本均摊。例如对一个空栈进行 N 次连续的 push() 调用需要访问数组的次数为 N+4+8+16+...+2N=5N-4（N 是向数组写入元素的次数，其余都是调整数组大小时进行复制需要的访问数组次数），均摊后访问数组的平均次数为常数。
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# ThreeSum
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ThreeSum 用于统计一个数组中和为 0 的三元组数量。
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```java
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public interface ThreeSum {
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int count(int[] nums);
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}
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```
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## 1. ThreeSumSlow
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该算法的内循环为 `if (nums[i] + nums[j] + nums[k] == 0)` 语句，总共执行的次数为 N(N-1)(N-2) = N<sup>3</sup>/6-N<sup>2</sup>/2+N/3，因此它的近似执行次数为 \~N<sup>3</sup>/6，增长数量级为 O(N<sup>3</sup>)。
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```java
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public class ThreeSumSlow implements ThreeSum {
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@Override
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public int count(int[] nums) {
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int N = nums.length;
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int cnt = 0;
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for (int i = 0; i < N; i++) {
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for (int j = i + 1; j < N; j++) {
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for (int k = j + 1; k < N; k++) {
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if (nums[i] + nums[j] + nums[k] == 0) {
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cnt++;
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}
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}
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}
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}
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return cnt;
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}
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}
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```
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## 2. ThreeSumBinarySearch
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将数组进行排序，对两个元素求和，并用二分查找方法查找是否存在该和的相反数，如果存在，就说明存在和为 0 的三元组。
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应该注意的是，只有数组不含有相同元素才能使用这种解法，否则二分查找的结果会出错。
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该方法可以将 ThreeSum 算法增长数量级降低为 O(N<sup>2</sup>logN)。
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```java
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public class ThreeSumBinarySearch implements ThreeSum {
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@Override
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public int count(int[] nums) {
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Arrays.sort(nums);
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int N = nums.length;
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int cnt = 0;
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for (int i = 0; i < N; i++) {
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for (int j = i + 1; j < N; j++) {
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int target = -nums[i] - nums[j];
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int index = BinarySearch.search(nums, target);
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// 应该注意这里的下标必须大于 j，否则会重复统计。
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if (index > j) {
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cnt++;
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}
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}
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}
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return cnt;
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}
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}
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```
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```java
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public class BinarySearch {
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public static int search(int[] nums, int target) {
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int l = 0, h = nums.length - 1;
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while (l <= h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (target == nums[m]) {
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return m;
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} else if (target > nums[m]) {
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l = m + 1;
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} else {
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h = m - 1;
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}
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}
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return -1;
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}
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}
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```
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## 3. ThreeSumTwoPointer
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更有效的方法是先将数组排序，然后使用双指针进行查找，时间复杂度为 O(N<sup>2</sup>)。
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```java
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public class ThreeSumTwoPointer implements ThreeSum {
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@Override
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public int count(int[] nums) {
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int N = nums.length;
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int cnt = 0;
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Arrays.sort(nums);
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for (int i = 0; i < N - 2; i++) {
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int l = i + 1, h = N - 1, target = -nums[i];
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if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1]) continue;
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while (l < h) {
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int sum = nums[l] + nums[h];
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if (sum == target) {
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cnt++;
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while (l < h && nums[l] == nums[l + 1]) l++;
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while (l < h && nums[h] == nums[h - 1]) h--;
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l++;
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h--;
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} else if (sum < target) {
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l++;
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} else {
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h--;
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}
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}
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}
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return cnt;
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}
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}
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```
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# 倍率实验
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如果 T(N) \~ aN<sup>b</sup>logN，那么 T(2N)/T(N) \~ 2<sup>b</sup>。
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例如对于暴力的 ThreeSum 算法，近似时间为 \~N<sup>3</sup>/6。进行如下实验：多次运行该算法，每次取的 N 值为前一次的两倍，统计每次执行的时间，并统计本次运行时间与前一次运行时间的比值，得到如下结果：
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| N | Time(ms) | Ratio |
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| :---: | :---: | :---: |
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| 500 | 48 | / |
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| 1000 | 320 | 6.7 |
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| 2000 | 555 | 1.7 |
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| 4000 | 4105 | 7.4 |
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| 8000 | 33575 | 8.2 |
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| 16000 | 268909 | 8.0 |
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可以看到，T(2N)/T(N) \~ 2<sup>3</sup>，因此可以确定 T(N) \~ aN<sup>3</sup>logN。
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```java
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public class RatioTest {
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public static void main(String[] args) {
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int N = 500;
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int loopTimes = 7;
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double preTime = -1;
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while (loopTimes-- > 0) {
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int[] nums = new int[N];
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StopWatch.start();
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ThreeSum threeSum = new ThreeSumSlow();
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int cnt = threeSum.count(nums);
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System.out.println(cnt);
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double elapsedTime = StopWatch.elapsedTime();
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double ratio = preTime == -1 ? 0 : elapsedTime / preTime;
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System.out.println(N + " " + elapsedTime + " " + ratio);
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preTime = elapsedTime;
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N *= 2;
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}
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}
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}
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```
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```java
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public class StopWatch {
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private static long start;
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public static void start() {
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start = System.currentTimeMillis();
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}
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public static double elapsedTime() {
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long now = System.currentTimeMillis();
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return (now - start) / 1000.0;
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}
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}
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```
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