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Java
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# 14. 剪绳子
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## 题目链接
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[Leetcode](https://leetcode.com/problems/integer-break/description/)
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## 题目描述
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把一根绳子剪成多段，并且使得每段的长度乘积最大。
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```html
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n = 2
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return 1 (2 = 1 + 1)
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n = 10
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return 36 (10 = 3 + 3 + 4)
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```
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## 解题思路
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### 贪心
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尽可能得多剪长度为 3 的绳子，并且不允许有长度为 1 的绳子出现。如果出现了，就从已经切好长度为 3 的绳子中拿出一段与长度为 1 的绳子重新组合，把它们切成两段长度为 2 的绳子。以下为证明过程。
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将绳子拆成 1 和 n-1，则 1(n-1)-n=-1\<0，即拆开后的乘积一定更小，所以不能出现长度为 1 的绳子。
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将绳子拆成 2 和 n-2，则 2(n-2)-n = n-4，在 n\>=4 时这样拆开能得到的乘积会比不拆更大。
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将绳子拆成 3 和 n-3，则 3(n-3)-n = 2n-9，在 n\>=5 时效果更好。
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将绳子拆成 4 和 n-4，因为 4=2\*2，因此效果和拆成 2 一样。
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将绳子拆成 5 和 n-5，因为 5=2+3，而 5\<2\*3，所以不能出现 5 的绳子，而是尽可能拆成 2 和 3。
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将绳子拆成 6 和 n-6，因为 6=3+3，而 6\<3\*3，所以不能出现 6 的绳子，而是拆成 3 和 3。这里 6 同样可以拆成 6=2+2+2，但是 3(n - 3) - 2(n - 2) = n - 5 \>= 0，在 n\>=5 的情况下将绳子拆成 3 比拆成 2 效果更好。
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继续拆成更大的绳子可以发现都比拆成 2 和 3 的效果更差，因此我们只考虑将绳子拆成 2 和 3，并且优先拆成 3，当拆到绳子长度 n 等于 4 时，也就是出现 3+1，此时只能拆成 2+2。
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```java
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public int integerBreak(int n) {
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if (n < 2)
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return 0;
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if (n == 2)
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return 1;
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if (n == 3)
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return 2;
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int timesOf3 = n / 3;
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if (n - timesOf3 * 3 == 1)
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timesOf3--;
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int timesOf2 = (n - timesOf3 * 3) / 2;
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return (int) (Math.pow(3, timesOf3)) * (int) (Math.pow(2, timesOf2));
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}
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```
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### 动态规划
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```java
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public int integerBreak(int n) {
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int[] dp = new int[n + 1];
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dp[1] = 1;
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for (int i = 2; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j < i; j++)
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dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), dp[j] * (i - j)));
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return dp[n];
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}
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```
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