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4572de9276
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@ -44,6 +44,7 @@
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* [BST](#bst)
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* [Trie](#trie)
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* [图](#图)
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* [二分图](#二分图)
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* [拓扑排序](#拓扑排序)
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* [并查集](#并查集)
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* [位运算](#位运算)
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@ -55,14 +56,19 @@
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## 二分查找
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**正常实现**
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```java
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public int binarySearch(int key, int[] nums) {
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public int binarySearch(int[] nums, int key) {
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int l = 0, h = nums.length - 1;
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while (l <= h) {
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int mid = l + (h - l) / 2;
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if (key == nums[mid]) return mid;
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if (key < nums[mid]) h = mid - 1;
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else l = mid + 1;
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (nums[m] == key)
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return m;
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else if (nums[m] > key)
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h = m - 1;
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else
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l = m + 1;
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}
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return -1;
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}
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@ -74,21 +80,59 @@ O(logN)
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**计算 mid**
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在计算 mid 时不能使用 mid = (l + h) / 2 这种方式，因为 l + h 可能会导致加法溢出，应该使用 mid = l + (h - l) / 2。
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有两种计算 mid 的方式：
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**计算 h**
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- mid = (l + h) / 2
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- mid = l + (h - l) / 2
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当循环条件为 l <= h，则 h = mid - 1。因为如果 h = mid，会出现循环无法退出的情况，例如 l = 1，h = 1，此时 mid 也等于 1，如果此时继续执行 h = mid，那么就会无限循环。
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当循环条件为 l < h，则 h = mid。因为如果 h = mid - 1，会错误跳过查找的数，例如对于数组 [1,2,3]，要查找 1，最开始 l = 0，h = 2，mid = 1，判断 key < arr[mid] 执行 h = mid - 1 = 0，此时循环退出，直接把查找的数跳过了。
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l + h 可能出现加法溢出，最好使用第二种方式。
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**返回值**
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在循环条件为 l <= h 的情况下，循环退出时 l 总是比 h 大 1，并且 l 是将 key 插入 nums 中的正确位置。例如对于 nums = {0,1,2,3}，key = 4，循环退出时 l = 4，将 key 插入到 nums 中的第 4 个位置就能保持 nums 有序的特点。
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循环退出时如果仍然没有查找到 key，那么表示查找失败。可以有两种返回值：
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在循环条件为 l < h 的情况下，循环退出时 l 和 h 相等。
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- -1：以一个错误码指示没有查找到 key
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- l：将 key 插入到 nums 中的正确位置
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如果只是想知道 key 存不存在，在循环退出之后可以直接返回 -1 表示 key 不存在于 nums 中。
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**变种**
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二分查找可以有很多变种，变种实现要多注意边界值的判断。例如在一个有重复元素的数组中查找 key 的最左位置的实现如下：
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```java
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public int binarySearch(int[] nums, int key) {
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int l = 0, h = nums.length - 1;
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (nums[m] >= key)
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h = m;
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else
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l = m + 1;
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}
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return l;
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}
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```
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该实现和正常实现有以下不同：
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- 循环条件为 l < h
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- h 的赋值表达式为 h = m
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- 最后返回 l 而不是 -1
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在 nums[m] >= key 的情况下，可以推导出最左 key 位于 [0, m] 区间中，这是一个闭区间。h 的赋值表达式为 h = m，因为 m 位置也可能是解。
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在 h 的赋值表达式为 h = mid 的情况下，如果循环条件为 l <= h，那么会出现循环无法退出的情况，因此循环条件只能是 l < h。
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```text
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nums = {0, 1}, key = 0
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l m h
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0 1 2 nums[m] >= key
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0 0 1 nums[m] >= key
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0 0 0 nums[m] >= key
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||||
0 0 0 nums[m] >= key
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...
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```
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当循环体退出时，不表示没有查找到 key，因此最后返回的结果不应该为 -1。为了验证有没有查找到，需要在调用端判断一下返回位置上的值和 key 是否相等。
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**求开方**
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@ -109,66 +153,23 @@ Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since we want to return an
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```java
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public int mySqrt(int x) {
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if (x <= 1) return x;
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if (x <= 1)
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return x;
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int l = 1, h = x;
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while (l <= h) {
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int mid = l + (h - l) / 2;
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int sqrt = x / mid;
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||||
if (sqrt == mid) return mid;
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if (sqrt < mid) h = mid - 1;
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else l = mid + 1;
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||||
if (sqrt == mid)
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return mid;
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||||
else if (sqrt < mid)
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h = mid - 1;
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else
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l = mid + 1;
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}
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return h;
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}
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```
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**摆硬币**
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[Leetcode : 441. Arranging Coins (Easy)](https://leetcode.com/problems/arranging-coins/description/)
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```html
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n = 8
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The coins can form the following rows:
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¤
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¤ ¤
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¤ ¤ ¤
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¤ ¤
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Because the 4th row is incomplete, we return 3.
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```
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题目描述：第 i 行摆 i 个，统计能够摆的行数。
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n 个硬币能够摆的行数 row 在 0 \~ n 之间，并且满足 n == row * (row + 1) / 2，因此可以利用二分查找在 0 \~ n 之间查找 row。
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对于 n = 8，它能摆的行数 row = 3，这是因为最后没有摆满的那一行不能算进去，因此在循环退出时应该返回 h。
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```java
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public int arrangeCoins(int n) {
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int l = 0, h = n;
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while (l <= h) {
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int mid = l + (h - l) / 2;
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long x = mid * (mid + 1) / 2;
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||||
if (x == n) return mid;
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else if (x < n) l = mid + 1;
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else h = mid - 1;
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}
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return h;
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}
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```
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本题可以不用二分查找，更直观的解法如下：
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```java
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public int arrangeCoins(int n) {
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int level = 1;
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while (n > 0) {
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n -= level;
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level++;
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}
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return n == 0 ? level - 1 : level - 2;
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}
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```
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**大于给定元素的最小元素**
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[Leetcode : 744. Find Smallest Letter Greater Than Target (Easy)](https://leetcode.com/problems/find-smallest-letter-greater-than-target/description/)
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@ -195,8 +196,10 @@ public char nextGreatestLetter(char[] letters, char target) {
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int l = 0, h = n - 1;
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while (l <= h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (letters[m] <= target) l = m + 1;
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else h = m - 1;
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||||
if (letters[m] <= target)
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l = m + 1;
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else
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h = m - 1;
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}
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return l < n ? letters[l] : letters[0];
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}
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@ -213,9 +216,9 @@ Output: 2
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题目描述：一个有序数组只有一个数不出现两次，找出这个数。要求以 O(logN) 时间复杂度进行求解。
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令 key 为 Single Element 在数组中的位置。如果 m 为偶数，并且 m < key，那么 nums[m] == nums[m + 1]；m >= key，那么 nums[m] != nums[m + 1]。
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令 key 为 Single Element 在数组中的位置。如果 m 为偶数，并且 m + 1 < key，那么 nums[m] == nums[m + 1]；m + 1 >= key，那么 nums[m] != nums[m + 1]。
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从上面的规律可以知道，如果 nums[m] == nums[m + 1]，那么 key 所在的数组位置为 m + 2 \~ n - 1，此时令 l = m + 2；如果 nums[m] != nums[m + 1]，那么 key 所在的数组位置为 0 \~ m，此时令 h = m。
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||||
从上面的规律可以知道，如果 nums[m] == nums[m + 1]，那么 key 所在的数组位置为 [m + 2, n - 1]，此时令 l = m + 2；如果 nums[m] != nums[m + 1]，那么 key 所在的数组位置为 [0, m]，此时令 h = m。
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因为 h 的赋值表达式为 h = m，那么循环条件也就只能使用 l < h 这种形式。
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@ -224,9 +227,12 @@ public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
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int l = 0, h = nums.length - 1;
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (m % 2 == 1) m--; // 保证 l/h/m 都在偶数位，使得查找区间大小一直都是奇数
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if (nums[m] == nums[m + 1]) l = m + 2;
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else h = m;
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if (m % 2 == 1)
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m--; // 保证 l/h/m 都在偶数位，使得查找区间大小一直都是奇数
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if (nums[m] == nums[m + 1])
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l = m + 2;
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else
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h = m;
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}
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return nums[l];
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}
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@ -238,7 +244,7 @@ public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
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题目描述：给定一个元素 n 代表有 [1, 2, ..., n] 版本，可以调用 isBadVersion(int x) 知道某个版本是否错误，要求找到第一个错误的版本。
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如果第 m 个版本出错，则表示第一个错误的版本在 1 \~ m 之前，令 h = m；否则第一个错误的版本在 m + 1 \~ n 之间，令 l = m + 1。
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如果第 m 个版本出错，则表示第一个错误的版本在 [1, m] 之间，令 h = m；否则第一个错误的版本在 [m + 1, n] 之间，令 l = m + 1。
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因为 h 的赋值表达式为 h = m，因此循环条件为 l < h。
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@ -246,9 +252,11 @@ public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
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public int firstBadVersion(int n) {
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int l = 1, h = n;
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (isBadVersion(m)) h = m;
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else l = m + 1;
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int mid = l + (h - l) / 2;
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if (isBadVersion(mid))
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h = mid;
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else
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l = mid + 1;
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}
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return l;
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}
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@ -268,8 +276,10 @@ public int findMin(int[] nums) {
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int l = 0, h = nums.length - 1;
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (nums[m] <= nums[h]) h = m;
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else l = m + 1;
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||||
if (nums[m] <= nums[h])
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h = m;
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else
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l = m + 1;
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}
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||||
return nums[l];
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}
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@ -291,16 +301,20 @@ Output: [-1,-1]
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public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
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int first = binarySearch(nums, target);
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int last = binarySearch(nums, target + 1) - 1;
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if (first == nums.length || nums[first] != target) return new int[]{-1, -1};
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return new int[]{first, Math.max(first, last)};
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||||
if (first == nums.length || nums[first] != target)
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return new int[]{-1, -1};
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else
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return new int[]{first, Math.max(first, last)};
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}
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private int binarySearch(int[] nums, int target) {
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int l = 0, h = nums.length; // 注意 h 的初始值
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (nums[m] >= target) h = m;
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else l = m + 1;
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if (nums[m] >= target)
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h = m;
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else
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l = m + 1;
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}
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return l;
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}
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@ -5914,6 +5928,64 @@ class MapSum {
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## 图
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### 二分图
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如果可以用两种颜色对图中的节点进行着色，并且保证相邻的节点颜色不同，那么这个图就是二分图。
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**判断是否为二分图**
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[Leetcode : 785. Is Graph Bipartite? (Medium)](https://leetcode.com/problems/is-graph-bipartite/description/)
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```html
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Input: [[1,3], [0,2], [1,3], [0,2]]
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Output: true
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Explanation:
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The graph looks like this:
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0----1
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| |
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| |
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3----2
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We can divide the vertices into two groups: {0, 2} and {1, 3}.
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```
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||||
```html
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Example 2:
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Input: [[1,2,3], [0,2], [0,1,3], [0,2]]
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Output: false
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Explanation:
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||||
The graph looks like this:
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||||
0----1
|
||||
| \ |
|
||||
| \ |
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||||
3----2
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||||
We cannot find a way to divide the set of nodes into two independent subsets.
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```
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||||
```java
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public boolean isBipartite(int[][] graph) {
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int[] colors = new int[graph.length];
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Arrays.fill(colors, -1);
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||||
for (int i = 0; i < graph.length; i++)
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||||
if (colors[i] != -1 && !isBipartite(graph, i, 0, colors))
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return false;
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|
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return true;
|
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}
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||||
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||||
private boolean isBipartite(int[][] graph, int cur, int color, int[] colors) {
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||||
if (colors[cur] != -1)
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||||
return colors[cur] == color;
|
||||
|
||||
colors[cur] = color;
|
||||
for (int next : graph[cur])
|
||||
if (!isBipartite(graph, next, 1 - color, colors))
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||||
return false;
|
||||
|
||||
return true;
|
||||
}
|
||||
```
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||||
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### 拓扑排序
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||||
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常用于在具有先序关系的任务规划中。
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