- [0.1. 定义](#01-定义) - [0.1.1. 连续](#011-连续) - [0.1.2. 离散](#012-离散) - [0.2. 性质](#02-性质) - [0.2.1. 分离性](#021-分离性) - [0.2.2. 位移定理](#022-位移定理) - [0.2.3. 周期性](#023-周期性) - [0.2.4. 共轭对称性](#024-共轭对称性) - [0.2.5. 旋转性](#025-旋转性) - [0.2.6. 加法定理](#026-加法定理) - [0.2.7. 平均值](#027-平均值) - [0.2.8. 相似性定理](#028-相似性定理) - [0.2.9. 卷积定理](#029-卷积定理) - [0.2.10. 相关定理](#0210-相关定理) - [0.2.11. Rayleigh 定理](#0211-rayleigh-定理) - [0.3. 快速傅里叶变换](#03-快速傅里叶变换) - [0.3.1. 复数中的单位根](#031-复数中的单位根) - [0.3.2. 快速傅里叶变换的计算](#032-快速傅里叶变换的计算) - [0.4. 代码](#04-代码) - [0.5. 参考](#05-参考) 图像处理中, 为了方便处理，便于抽取特征，数据压缩等目的，常常要将图像进行变换。 一般有如下变换方法 1. 傅立叶变换Fourier Transform 2. 离散余弦变换Discrete Cosine Transform 3. 沃尔希-哈德玛变换Walsh-Hadamard Transform 4. 斜变换Slant Transform 5. 哈尔变换Haar Transform 6. 离散K-L变换Discrete Karhunen-Leave Transform 7. 奇异值分解SVD变换Singular-Value Decomposition 8. 离散小波变换Discrete Wavelet Transform 这篇文章介绍一下傅里叶变换 ## 0.1. 定义 ### 0.1.1. 连续 积分形式 如果一个函数的绝对值的积分存在，即 |dt<\infty&space;) 并且函数是连续的或者只有有限个不连续点，则对于 x 的任何值， 函数的傅里叶变换存在 - 一维傅里叶变换 =\int_{-\infty}&space;^\infty&space;h(t)e^{-j2\pi&space;ft}dt&space;) - 一维傅里叶逆变换 =\int_{-\infty}&space;^\infty&space;h(t)e^{j2\pi&space;ft}dt&space;) 同理多重积分 ### 0.1.2. 离散 实际应用中，多用离散傅里叶变换 DFT. - 一维傅里叶变换 =\sum_{x=0}&space;^{N-1}&space;f(x)e^{\frac{-2\pi&space;j}{N}&space;ux}&space;) - 一维傅里叶逆变换 =\frac{1}{N}\sum_{u=0}&space;^{N-1}&space;F(u)e^{\frac{2\pi&space;j}{N}&space;ux}&space;) 需要注意的是， 逆变换乘以  是为了**归一化**，这个系数可以随意改变， 即可以正变换乘以 , 逆变换就不乘，或者两者都乘以等系数。 - 二维傅里叶变换 =\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}&space;^{N-1}&space;f(x,y)e^{\frac{-2\pi&space;j}{N}&space;(ux+vy)}&space;) - 二维傅里叶逆变换 =\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}&space;^{N-1}&space;F(u,v)e^{\frac{2\pi&space;j}{N}&space;(ux+vy)}&space;) 幅度 |&space;=&space;\sqrt{real(F)^2+imag(F)^2}&space;) 相位 }{real(F)}}&space;) 对于图像的幅度谱显示，由于 |F(u,v)| 变换范围太大，一般显示 +1)) 用 `<=>` 表示傅里叶变换对 <=>F(u)\\&space;f(x,y)<=>F(u,v)&space;) f,g,h 对应的傅里叶变换 F,G,H  表示  的共轭 ## 0.2. 性质 ### 0.2.1. 分离性 =\sum_{y=0}&space;^{N-1}&space;f(x,y)e^{\frac{-2\pi&space;j}{N}&space;vy}\\&space;&F(u,v)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}F(x,v)e^{\frac{-2\pi&space;j}{N}ux}&space;\end{aligned}&space;) 进行多维变换时，可以依次对每一维进行变换。 下面在代码中就是这样实现的。 ### 0.2.2. 位移定理 e^{\frac{2\pi&space;j}{N}(u_0x+v_0y)}&space;<=>F(u-u_0,v-v_0)&space;) <=>F(u,v)e^{\frac{-2\pi&space;j}{N}(ux_0+vy_0)}&space;) ### 0.2.3. 周期性 &space;=&space;F(u+N,v+N)&space;) ### 0.2.4. 共轭对称性 &space;=&space;F^*(-u,-v)) a)偶分量函数在变换中产生偶分量函数; b)奇分量函数在变换中产生奇分量函数; c)奇分量函数在变换中引入系数-j; d)偶分量函数在变换中不引入系数. ### 0.2.5. 旋转性 if <=>F(\omega,\phi)&space;) then <=>F(\omega,\phi+t)&space;) ### 0.2.6. 加法定理 1.  2. <=>aF[u,v]&space;) ### 0.2.7. 平均值 &space;=&space;\frac{1}{N}F(0,0)&space;) ### 0.2.8. 相似性定理 尺度变换 <=>\frac{F(\frac{u}{a},\frac{v}{b})}{ab}&space;) ### 0.2.9. 卷积定理 卷积定义 1d g(x-m)&space;) 2d *g(x,y)&space;=&space;\frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)g(x-m,y-n)&space;) 卷积定理 *g(x,y)&space;<=>&space;F(u,v)G(u,v)&space;) g(x,y)<=>F(u,v)*G(u,v)&space;) 离散卷积 用 h[(k-i)T]&space;<=>&space;X(\frac{n}{NT})H(\frac{n}{NT})&space;) 即两个周期为 N 的抽样函数， 他们的卷积的离散傅里叶变换等于他们的离散傅里叶变换的卷积 卷积的应用： 去除噪声， 特征增强 两个不同周期的信号卷积需要周期扩展的原因：如果直接进行傅里叶变换和乘积，会产生折叠误差(卷绕)。 ### 0.2.10. 相关定理 下面用 表示相关。 相关函数描述了两个信号之间的相似性，其相关性大小有相关系数衡量 - 相关函数的定义 离散 \quad&space;\infty&space;\quad&space;g(x,y)&space;=&space;\frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f^*(m,n)g(x+m,y+n)&space;) 连续 &space;=&space;\int_{-\infty}^{\infty}x^*(\tau)&space;h(t+\tau)d\tau) - 定理 \quad&space;\infty&space;\quad&space;g(x,y)<=>F^*(u,v)G(u,v)&space;) ### 0.2.11. Rayleigh 定理 能量变换 对于有限区间非零函数 f(t), 其能量为 |^2dt&space;) 其变换函数与原函数有相同的能量 |^2dt&space;=&space;\int_{-\infty}^{\infty}|F(u)|^2dt&space;) ## 0.3. 快速傅里叶变换 由上面离散傅里叶变换的性质易知，直接计算 1维 dft 的时间复杂度维 )。 利用到单位根的对称性，快速傅里叶变换可以达到 )的时间复杂度。 ### 0.3.1. 复数中的单位根 我们知道， 在复平面，复数 k可以表示成 ， 可以对应一个向量。即为幅角。 在**单位圆**中 ，单位圆被分成  份， 由单位圆的对称性 }&space;) 现在记  ， 即被分成 n 份，幅度角为正且最小的向量称为 n 次单位向量， 记为， 其余的 n-1 个向量分别为  ，它们可以由复数之间的乘法得来 )。 单位根的性质 1. 这个可以用 e 表示出来证明  2. 可以写成三角函数证明  容易看出 。 对于 , 它事实上就是  。 ### 0.3.2. 快速傅里叶变换的计算 下面的推导假设 ，以及代码实现 FFT 部分也是 如此。 利用上面的对称性， 将傅里叶计算进行奇偶分组 &=\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n&space;^{iu}&space;a^i\\&space;&=&space;\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_n&space;^{2iu}&space;a^{2i}+\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_n&space;^{(2i+1)u}&space;a^{2i+1}\\&space;&=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_{\frac{n}{2}}&space;^{iu}&space;a^{2i}+\omega_n^u\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_{\frac{n}{2}}&space;^{iu}&space;a^{2i+1}\\&space;&&space;=&space;F_{even}(u)+\omega_n^u&space;F_{odd}(u)&space;\end{aligned}&space;) 表示将 输入的次序中偶数点进行 Fourier 变换，  同理，这样就形成递推公式。 现在还没有减少计算量，下面通过将分别计算的 奇项，偶项利用起来，只计算 前 项，后面的一半可以利用此结果马上算出来。每一次可以减少一半的计算量。 对于  &=F_{even}(\omega_{n}^{2i+n})+\omega_{n}^{i+\frac{n}{2}}\cdot&space;F_{odd}(\omega_{n}^{2i+n})\\&space;&=F_{even}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})+\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}}\cdot&space;F_{odd}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})\\&space;&&space;=F_{even}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i})-\omega_{\frac{n}{2}}^{i}\cdot&space;F_{odd}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i})&space;\end{aligned}&space;) 现在很清楚了，在每次计算 a[0..n-1] 的傅里叶变换F[0..n-1]，分别计算出奇 odd[0..n/2-1]，偶even[0..n/2-1]（可以递归地进行）， 那么傅里叶变换为：  ## 0.4. 代码 下面是 python 实现 一维用 FFT 实现， 不过 只实现了 2 的幂。/ 对于非 2 的幂，用 FFT 实现有点困难，还需要插值，所以我 用) 直接实现。 二维的 DFT利用 分离性，直接调用 一维 FFT。 [GitHub](https://github.com/mbinary/algorithm) ```python import numpy as np def _fft(a, invert=False): N = len(a) if N == 1: return [a[0]] elif N & (N - 1) == 0: # O(nlogn), 2^k even = _fft(a[::2], invert) odd = _fft(a[1::2], invert) i = 2j if invert else -2j factor = np.exp(i * np.pi * np.arange(N // 2) / N) prod = factor * odd return np.concatenate([even + prod, even - prod]) else: # O(n^2) w = np.arange(N) i = 2j if invert else -2j m = w.reshape((N, 1)) * w W = np.exp(m * i * np.pi / N) return np.concatenate(np.dot(W, a.reshape( (N, 1)))) # important, cannot use * def fft(a): '''fourier[a]''' n = len(a) if n == 0: raise Exception("[Error]: Invalid length: 0") return _fft(a) def ifft(a): '''invert fourier[a]''' n = len(a) if n == 0: raise Exception("[Error]: Invalid length: 0") return _fft(a, True) / n def fft2(arr): return np.apply_along_axis(fft, 0, np.apply_along_axis(fft, 1, np.asarray(arr))) def ifft2(arr): return np.apply_along_axis(ifft, 0, np.apply_along_axis(ifft, 1, np.asarray(arr))) def test(n=128): print('\nsequence length:', n) print('fft') li = np.random.random(n) print(np.allclose(fft(li), np.fft.fft(li))) print('ifft') li = np.random.random(n) print(np.allclose(ifft(li), np.fft.ifft(li))) print('fft2') li = np.random.random(n * n).reshape((n, n)) print(np.allclose(fft2(li), np.fft.fft2(li))) print('ifft2') li = np.random.random(n * n).reshape((n, n)) print(np.allclose(ifft2(li), np.fft.ifft2(li))) if __name__ == '__main__': for i in range(1, 3): test(i * 16) ``` ## 0.5. 参考 - [万寿红老师课件]() - [一小时学会快速傅里叶变换 Fast Fourier Transform](https://zhuanlan.zhihu.com/p/31584464) - [快速傅里叶变换（FFT）算法【详解】](https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6919424.html)