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title: 图算法
date: 2018-09-06 19:10
categories: 数据结构与算法
tags: [图,算法]
keywords: 图,算法
mathjax: true
description:
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- [1. 图](#1-图)
- [1.1. 概念](#11-概念)
- [1.1.1. 性质](#111-性质)
- [1.2. 图的表示](#12-图的表示)
- [1.3. 树](#13-树)
- [2. 搜索](#2-搜索)
- [2.1. BFS](#21-bfs)
- [2.2. DFS](#22-dfs)
- [2.2.1. DFS 的性质](#221-dfs-的性质)
- [2.3. 拓扑排序](#23-拓扑排序)
- [2.4. 强连通分量](#24-强连通分量)
- [3. 最小生成树](#3-最小生成树)
- [3.1. Kruskal 算法](#31-kruskal-算法)
- [3.2. Prim 算法](#32-prim-算法)
- [4. 单源最短路](#4-单源最短路)
- [4.1. 负权重的边](#41-负权重的边)
- [4.2. 初始化](#42-初始化)
- [4.3. 松弛操作](#43-松弛操作)
- [4.4. 有向无环图的单源最短路问题](#44-有向无环图的单源最短路问题)
- [4.5. Bellman-Ford 算法](#45-bellman-ford-算法)
- [4.6. Dijkstra 算法](#46-dijkstra-算法)
- [5. 所有结点对的最短路问题](#5-所有结点对的最短路问题)
- [5.1. 矩阵乘法](#51-矩阵乘法)
- [5.2. Floyd-Warshall 算法](#52-floyd-warshall-算法)
- [5.3. Johnson 算法](#53-johnson-算法)
- [6. 最大流](#6-最大流)
- [6.1. 定理](#61-定理)
- [6.2. 多个源,汇](#62-多个源汇)
- [6.3. Ford-Fulkerson 方法](#63-ford-fulkerson-方法)
- [6.3.1. 残存网络](#631-残存网络)
- [6.3.2. 增广路径](#632-增广路径)
- [6.3.3. 割](#633-割)
- [6.4. 基本的 Ford-Fulkerson算法](#64-基本的-ford-fulkerson算法)
- [6.5. TBD](#65-tbd)
- [7. 参考资料](#7-参考资料)
# 1. 图
## 1.1. 概念
* 顶
* 顶点的度 d
* 边
* 相邻
* 重边
* 环
* 完全图: 所有顶都相邻
* 二分图: &space;=&space;X&space;\cup&space;Y,&space;X\cap&space;Y&space;=&space;\varnothing), X中, Y 中任两顶不相邻
* 轨道
* 圈
### 1.1.1. 性质
* &space;=&space;2|E|)
* G是二分图  G无奇圈
* 树是无圈连通图
* 树中, 
## 1.2. 图的表示
* 邻接矩阵
* 邻接链表
## 1.3. 树
无圈连通图, , 详细见[树](https://mbinary.xyz/tree.html),
# 2. 搜索
求图的生成树[^1]
## 2.1. BFS
```python
for v in V:
v.d = MAX
v.pre = None
v.isFind = False
root. isFind = True
root.d = 0
que = [root]
while que !=[]:
nd = que.pop(0)
for v in Adj(nd):
if not v.isFind :
v.d = nd.d+1
v.pre = nd
v.isFind = True
que.append(v)
```
时间复杂度 )
## 2.2. DFS
)
```python
def dfs(G):
time = 0
for v in V:
v.pre = None
v.isFind = False
for v in V : # note this,
if not v.isFind:
dfsVisit(v)
def dfsVisit(G,u):
time =time+1
u.begin = time
u.isFind = True
for v in Adj(u):
if not v.isFind:
v.pre = u
dfsVisit(G,v)
time +=1
u.end = time
```
begin, end 分别是结点的发现时间与完成时间
### 2.2.1. DFS 的性质
* 其生成的前驱子图 形成一个由多棵树构成的森林, 这是因为其与 dfsVisit 的递归调用树相对应
* 括号化结构
* 括号化定理:
考察两个结点的发现时间与结束时间的区间 [u,begin,u.end] 与 [v.begin,v.end]
* 如果两者没有交集, 则两个结点在两个不同的子树上(递归树)
* 如果 u 的区间包含在 v 的区间, 则 u 是v 的后代
## 2.3. 拓扑排序
利用 DFS, 结点的完成时间的逆序就是拓扑排序
同一个图可能有不同的拓扑排序
## 2.4. 强连通分量
在有向图中, 强连通分量中的结点互达
定义  为  中所有边反向后的图
将图分解成强连通分量的算法
在 Grev 上根据 G 中结点的拓扑排序来 dfsVisit, 即
```python
compute Grev
initalization
for v in topo-sort(G.V):
if not v.isFind: dfsVisit(Grev,v)
```
然后得到的DFS 森林(也是递归树森林)中每个树就是一个强连通分量
# 3. 最小生成树
利用了贪心算法,
## 3.1. Kruskal 算法
总体上, 从最开始 每个结点就是一颗树的森林中(不相交集合, 并查集), 逐渐添加不形成圈的(两个元素不再同一个集合),最小边权的边.
```python
edges=[]
for edge as u,v in sorted(G.E):
if find-set(u) != find-set(v):
edges.append(edge)
union(u,v)
return edges
```
如果并查集的实现采用了 按秩合并与路径压缩技巧, 则 find 与 union 的时间接近常数
所以时间复杂度在于排序边, 即 ), 而 , 所以 ), 时间复杂度为 )
## 3.2. Prim 算法
用了 BFS, 类似 Dijkstra 算法
从根结点开始 BFS, 一直保持成一颗树
```python
for v in V:
v.minAdjEdge = MAX
v.pre = None
root.minAdjEdge = 0
que = priority-queue (G.V) # sort by minAdjEdge
while not que.isempty():
u = que.extractMin()
for v in Adj(u):
if v in que and v.minAdjEdge>w(u,v):
v.pre = u
v.minAdjEdge = w(u,v)
```
* 建堆 ) `//note it's v, not vlgv`
* 主循环中
* extractMin: )
* in 操作 可以另设标志位, 在常数时间完成, 总共 )
* 设置结点的 minAdjEdge, 需要), 循环 E 次,则 总共)
综上, 时间复杂度为)
如果使用的是 [斐波那契堆](https://mbinary.xyz/fib-heap.html), 则可改进到 )
# 4. 单源最短路
求一个结点到其他结点的最短路径, 可以用 Bellman-Ford算法, 或者 Dijkstra算法.
定义两个结点u,v间的最短路
&space;=&space;\begin{cases}&space;min(w(path)),\quad&space;u\xrightarrow{path}&space;v\\&space;MAX,&space;\quad&space;u&space;rightarrow&space;v&space;\end{cases}&space;)
问题的变体
* 单目的地最短路问题: 可以将所有边反向转换成求单源最短路问题
* 单结点对的最短路径
* 所有结点对最短路路径
## 4.1. 负权重的边
Dijkstra 算法不能处理负权边, 只能用 Bellman-Ford 算法,
而且如果有负值圈, 则没有最短路, bellman-ford算法也可以检测出来
## 4.2. 初始化
```python
def initialaize(G,s):
for v in G.V:
v.pre = None
v.distance = MAX
s.distance = 0
```
## 4.3. 松弛操作
```python
def relax(u,v,w):
if v.distance > u.distance + w:
v.distance = u.distance + w:
v.pre = u
```
性质
* 三角不等式: &space;\leqslant&space;\delta(s,u)&space;+&space;w(u,v))
* 上界: )
* 收敛: 对于某些结点u,v 如果s->...->u->v是图G中的一条最短路径，并且在对边，进行松弛前任意时间有 )则在之后的所有时间有 )
* 路径松弛性质: 如果是从源结点下v0到结点vk的一条最短路径，并且对p中的边所进行松弛的次序为,(v_1,v_2),&space;\ldots&space;,(v_{k-1},v_k)), 则 )
该性质的成立与任何其他的松弛操作无关，即使这些松弛操作是与对p上的边所进行的松弛操作穿插进行的。
证明
## 4.4. 有向无环图的单源最短路问题
```python
def dag-shortest-path(G,s):
initialize(G,s)
for u in topo-sort(G.V):
for v in Adj(v):
relax(u,v,w(u,v))
```
## 4.5. Bellman-Ford 算法
```python
def bellman-ford(G,s):
initialize(G,s)
for ct in range(|V|-1): # v-1times
for u,v as edge in E:
relax(u,v,w(u,v))
for u,v as edge in E:
if v.distance > u.distance + w(u,v):
return False
return True
```
第一个 for 循环就是进行松弛操作, 最后结果已经存储在 结点的distance 和 pre 属性中了, 第二个 for 循环利用三角不等式检查有不有负值圈.
下面是证明该算法的正确性
## 4.6. Dijkstra 算法
```python
def dijkstra(G,s):
initialize(G,s)
paths=[]
q = priority-queue(G.V) # sort by distance
while not q.empty():
u = q.extract-min()
paths.append(u)
for v in Adj(u):
relax(u,v,w(u,v))
```
# 5. 所有结点对的最短路问题
## 5.1. 矩阵乘法
使用动态规划算法, 可以得到最短路径的结构
设 })为从结点i 到结点 j 的至多包含 m 条边的任意路径的最小权重,当m = 0, 此时i=j, 则 为0,
可以得到递归定义
}&space;=\min(&space;l_{ij}^{(m-1)},&space;\min_{1\leqslant&space;k\leqslant&space;n}(&space;l_{ik}^{(m-1)}+w_{kj}))&space;=&space;\min_{1\leqslant&space;k\leqslant&space;n}(&space;l_{ik}^{(m-1)}+w_{kj}))&space;)
由于是简单路径, 则包含的边最多为 |V|-1 条, 所以
&space;=&space;l_{ij}^{(|V|-1)}&space;=&space;l_{ij}^{(|V|)}&space;=l_{ij}^{(|V|&space;+&space;1)}=&space;...&space;)
所以可以自底向上计算, 如下
输入权值矩阵 ),&space;L^{(m-1)}),输出}), 其中 }&space;=&space;W),
```python
n = L.rows
L' = new matrix(nxn)
for i in range(n):
for j in range(n):
l'[i][j] = MAX
for k in range(n):
l'[i][j] = min(l'[i][j], l[i][k]+w[k][j])
return L'
```
可以看出该算法与矩阵乘法的关系
}&space;=&space;W^m),
所以可以直接计算乘法, 每次计算一个乘积是 ), 计算 V 次, 所以总体 ), 使用矩阵快速幂可以将时间复杂度降低为)
```python
def f(W):
L = W
i = 1
while i
## 5.2. Floyd-Warshall 算法
同样要求可以存在负权边, 但不能有负值圈. 用动态规划算法:
设 }) 为 从 i 到 j 所有中间结点来自集合  的一条最短路径的权重. 则有
}&space;=&space;\begin{cases}&space;w_{ij},\quad&space;k=0\\&space;min(d_{ij}^{(k-1)},d_{ik}^{(k-1)}+d_{kj}^{(k-1)}),\quad&space;k\geqslant&space;1&space;\end{cases}&space;)
而且为了找出路径, 需要记录前驱结点, 定义如下前驱矩阵 , 设 }) 为 从 i 到 j 所有中间结点来自集合  的最短路径上 j 的前驱结点
则
}&space;=&space;\begin{cases}&space;nil,\quad&space;i=j&space;\&space;or&space;\&space;w_{ij}=MAX\\&space;i,&space;\quad&space;i&space;eq&space;j&space;and&space;\&space;w_{ij} d[i][k]+d[k][j]:
d2[i][j] = min(d[i][j], d[i][k]+d[k][j])
pre2[i][j] = pre[k][j]
pre = pre2
d = d2
return d,pre
```
## 5.3. Johnson 算法
思路是通过重新赋予权重, 将图中负权边转换为正权,然后就可以用 dijkstra 算法(要求是正值边)来计算一个结点到其他所有结点的, 然后对所有结点用dijkstra
1. 首先构造一个新图 G'
先将G拷贝到G', 再添加一个新结点 s, 添加 G.V条边, s 到G中顶点的, 权赋值为 0
2. 用 Bellman-Ford 算法检查是否有负值圈, 如果没有, 同时求出 &space;Recorded-as&space;h(v))
3. 求新的非负值权, w'(u,v) = w(u,v)+h(u)-h(v)
4. 对所有结点在 新的权矩阵w'上 用 Dijkstra 算法
```python
JOHNSON (G, u)
s = newNode
G' = G.copy()
G'.addNode(s)
for v in G.V: G'.addArc(s,v,w=0)
if BELLMAN-FORD(G' , w, s) ==FALSE
error "the input graph contains a negative-weight cycle"
for v in G'.V:
# computed by the bellman-ford algorithm, delta(s,v) is the shortest distance from s to v
h(v) = delta(s,v)
for edge(u,v) in G'.E:
w' = w(u,v)+h(u)-h(v)
d = matrix(n,n)
for u in G:
dijkstra(G,w',u) # compute delta' for all v in G.V
for v in G.V:
d[u][v] = delta'(u,v) + h(v)-h(u)
return d
```
# 6. 最大流
G 是弱连通严格有向加权图, s为源, t 为汇, 每条边e容量 c(e), 由此定义了网络N(G,s,t,c(e)),
* 流函数 :E&space;\rightarrow&space;R)
\quad&space;&&space;0\leqslant&space;f(e)&space;\leqslant&space;c(e),\quad&space;e&space;\in&space;E\\&space;(2)\quad&space;&&space;\sum_{e\in&space;\alpha(v)}&space;f(e)=&space;\sum_{e\in&space;\beta(v)}f(e),\quad&space;v&space;\in&space;V-\{s,t\}&space;\end{aligned}&space;)
其中 ) 是以 v 为头的边集, )是以 v 为尾的边集
* 流量: }&space;f(e)-&space;\sum_{e\in&space;-\beta(t)}f(e),)
* 截): 
* 截量&space;=&space;\sum_{e\in(S,\overline&space;S)}c(e))
## 6.1. 定理
参考 图论[^2]
* 对于任一截), 有 }&space;f(e)-&space;\sum_{e\in(\overline&space;S,S)}f(e),)
* )
证明: 由上面定理
}&space;f(e)-&space;\sum_{e\in(\overline&space;S,S)}f(e),)
而 &space;\leqslant&space;c(e)), 则
}&space;f(e)&space;\leqslant&space;\sum_{e\in&space;(S,\overline&space;S)}&space;c(e)&space;=&space;C(S))
* 最大流,最小截: 若), 则F'是最大流量, C(S) 是最小截量
## 6.2. 多个源,汇
可以新增一个总的源,一个总的汇,
## 6.3. Ford-Fulkerson 方法
由于其实现可以有不同的运行时间, 所以称其为方法, 而不是算法.
思路是 循环增加流的值, 在一个关联的"残存网络" 中寻找一条"增广路径", 然后对这些边进行修改流量. 重复直至残存网络上不再存在增高路径为止.
```python
def ford-fulkerson(G,s,t):
initialize flow f to 0
while exists an augmenting path p in residual network Gf:
augment flow f along p
return f
```
### 6.3.1. 残存网络
### 6.3.2. 增广路径
### 6.3.3. 割
## 6.4. 基本的 Ford-Fulkerson算法
```python
def ford-fulkerson(G,s,t):
for edge in G.E: edge.f = 0
while exists path p:s->t in Gf:
cf(p) = min{cf(u,v):(u,v) is in p}
for edge in p:
if edge in E:
edge.f +=cf(p)
else: reverse_edge.f -=cf(p)
```
## 6.5. TBD
# 7. 参考资料
[^1]: 算法导论
[^2]: 图论, 王树禾