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title: 『数据结构』散列表
date: 2018-07-08 23:25
categories: 数据结构与算法
tags: [数据结构,散列表]
keywords:
mathjax: true
description:
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- [1. 关键字](#1-关键字)
- [2. 映射](#2-映射)
- [2.1. 散列函数(hash)](#21-散列函数hash)
- [2.1.1. 简单一致散列](#211-简单一致散列)
- [2.1.2. 碰撞(collision)](#212-碰撞collision)
- [2.1.3. str2int 的方法](#213-str2int-的方法)
- [2.2. 直接寻址法](#22-直接寻址法)
- [2.3. 链接法](#23-链接法)
- [2.3.1. 全域散列(universal hashing)](#231-全域散列universal-hashing)
- [2.3.1.1. 定义](#2311-定义)
- [2.3.1.2. 性质](#2312-性质)
- [2.3.1.3. 实现](#2313-实现)
- [2.4. 开放寻址法](#24-开放寻址法)
- [2.4.1. 不成功查找的探查数的期望](#241-不成功查找的探查数的期望)
- [2.4.1.1. 插入探查数的期望](#2411-插入探查数的期望)
- [2.4.1.2. 成功查找的探查数的期望](#2412-成功查找的探查数的期望)
哈希表 (hash table) , 可以实现 $O(1)$ 的 read, write, update
相对应 python 中的 dict, c语言中的 map
其实数组也能实现, 只是数组用来索引的关键字是下标, 是整数.
而哈希表就是将各种关键字映射到数组下标的一种"数组"
# 1. 关键字
由于关键字是用来索引数据的, 所以要求它不能变动(如果变动,实际上就是一个新的关键字插入了), 在python 中表现为 imutable. 常为字符串.
# 2. 映射
## 2.1. 散列函数(hash)
将关键字 k 进行映射, 映射函数 $h$, 映射后的数组地址 $h(k)$.
### 2.1.1. 简单一致散列
>* 简单一致假设:元素散列到每个链表的可能性是相同的, 且与其他已被散列的元素独立无关.
>* 简单一致散列(simple uniform hashing): 满足简单一致假设的散列
好的散列函数应 满足简单一致假设
例如
$$
\begin{aligned}
&(1)\quad h(k) = k \ mod\ m \\
&(2)\quad h(k) = \lfloor {m(kA \ mod\ 1)\rfloor} = kA-\lfloor kA \rfloor \text{,\ x(0< A< 1)}\\
&\quad\text{任何 A 都使用,最佳的选择与散列的数据特征有关.}\\
&\quad\text{ Knuth 认为,最理想的是黄金分割数}\frac{\sqrt{5} -1}{2} \approx 0.618
\end{aligned}
$$
### 2.1.2. 碰撞(collision)
由于关键字值域大于映射后的地址值域, 所以可能出现两个关键字有相同的映射地址
### 2.1.3. str2int 的方法
可以先用 ascii 值,然后
* 各位相加
* 两位叠加
* 循环移位
* ...
## 2.2. 直接寻址法
将关键字直接对应到数组地址, 即 $h(k)=k$
缺点: 如果关键字值域范围大, 但是数量小, 就会浪费空间, 有可能还不能储存这么大的值域范围.
## 2.3. 链接法
通过链接法来解决碰撞
记有 m 个链表, n 个元素 $\alpha = \frac{n}{m}$ 为每个链表的期望元素个数(长度)
则查找成功,或者不成功的时间复杂度为 $\Theta(1+\alpha)$
如果 $n=O(m), namely \quad \alpha=\frac{O(m)}{m}=O(1)$, 则上面的链接法满足 $O(1)$的速度
### 2.3.1. 全域散列(universal hashing)
随机地选择散列函数, 使之独立于要存储的关键字
#### 2.3.1.1. 定义
设一组散列函数 $H=\{h_1,h_2,\ldots,h_i\}$, 将 关键字域 U 映射到 $\{0,1,\ldots,m-1\}$ , 全域的函数组, 满足
$$
for \ k \neq l \ \in U, h(k) = h(l), \text{这样的 h 的个数不超过}\frac{|H|}{m}
$$
即从 H 中任选一个散列函数, 当关键字不相等时, 发生碰撞的概率不超过 $\frac{1}{m}$
#### 2.3.1.2. 性质
对于 m 个槽位的表, 只需 $\Theta(n)$的期望时间来处理 n 个元素的 insert, search, delete,其中 有$O(m)$个insert 操作
#### 2.3.1.3. 实现
选择足够大的 prime p, 记$Z_p=\{0,1,\ldots,p-1\}, Z_p^{*}=\{1,\ldots,p-1\},$
令$h_{a,b}(k) = ((ak+b)mod\ p) mod\ m$
则 $H_{p,m}=\{h_{a,b}|a\in Z_p^{*},b\in Z_p\}$
## 2.4. 开放寻址法
所有表项都在散列表中, 没有链表.
且散列表装载因子$\alpha=\frac{n}{m}\leqslant1$
这里散列函数再接受一个参数, 作为探测序号
逐一试探 $h(k,0),h(k,1),\ldots,h(k,m-1)$,这要有满足的,就插入, 不再计算后面的 hash值
探测序列一般分有三种
* 线性$\ 0,1,\ldots,m-1$
存在一次聚集问题
* 二次$\ 0,1,\ldots,(m-1)^2$
存在二次聚集问题
* 双重探查
$h(k,i) = (h_1(k)+i*h_2(k))mod\ m$
为了能查找整个表, 即要为模 m 的完系, 则 h_2(k)要与 m 互质.
如可以取 $h_1(k) = k\ mod \ m,h_2(k) = 1+(k\ mod\ {m-1})$
注意删除时, 不能直接删除掉(如果有元素插入在其后插入时探测过此地址,删除后就不能访问到那个元素了), 应该 只是做个标记为删除
### 2.4.1. 不成功查找的探查数的期望
对于开放寻址散列表,且 $\alpha<1$,一次不成功的查找,是这样的: 已经装填了 n 个, 总共有m 个,则空槽有 m-n 个.
不成功的探查是这样的: 一直探查到已经装填的元素(但是不是要找的元素), 直到遇到没有装填的空槽. 所以这服从几何分布, 即
$$
p(\text{不成功探查})=p(\text{第一次找到空槽})=\frac{m-n}{m}
$$
有
$$ E(\text{探查数})=\frac{1}{p}\leqslant \frac{1}{1-\alpha}$$
#### 2.4.1.1. 插入探查数的期望
所以, 插入一个关键字, 也最多需要 $\frac{1}{1-\alpha}$次, 因为插入过程就是前面都是被占用了的槽, 最后遇到一个空槽.与探查不成功是一样的过程
#### 2.4.1.2. 成功查找的探查数的期望
成功查找的探查过程与插入是一样的. 所以查找关键字 k 相当于 插入它, 设为第 i+1 个插入的(前面插入了i个,装载因子$\alpha=\frac{i}{m}$. 那么期望探查数就是
$$\frac{1}{1-\alpha}=\frac{1}{1-\frac{i}{m}}=\frac{m}{m-i}$$
则成功查找的期望探查数为
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{m}{m-i}=\frac{m}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{m-i} &= \frac{m}{n}\sum_{i=m-n+1}^{m}\frac{1}{i}\\
&\leqslant \frac{1}{\alpha} \int_{m-n}^m\frac{1}{x}dx\\
&=\frac{1}{\alpha}ln\frac{1}{1-\alpha}
\end{aligned}
$$
代码
**[github地址](https://github.com/mbinary/algorithm-and-data-structure.git)**
```python
class item:
def __init__(self,key,val,nextItem=None):
self.key = key
self.val = val
self.next = nextItem
def to(self,it):
self.next = it
def __eq__(self,it):
'''using keyword '''
return self.key == it.key
def __bool__(self):
return self.key is not None
def __str__(self):
li = []
nd = self
while nd:
li.append(f'({nd.key}:{nd.val})')
nd = nd.next
return ' -> '.join(li)
def __repr__(self):
return f'item({self.key},{self.val})'
class hashTable:
def __init__(self,size=100):
self.size = size
self.slots=[item(None,None) for i in range(self.size)]
def __setitem__(self,key,val):
nd = self.slots[self.myhash(key)]
while nd.next:
if nd.key ==key:
if nd.val!=val: nd.val=val
return
nd = nd.next
nd.next = item(key,val)
def myhash(self,key):
if isinstance(key,str):
key = sum(ord(i) for i in key)
if not isinstance(key,int):
key = hash(key)
return key % self.size
def __iter__(self):
'''when using keyword , such as ' if key in dic',
the dic's __iter__ method will be called,(if hasn't, calls __getitem__
then ~iterate~ dic's keys to compare whether one equls to the key
'''
for nd in self.slots:
nd = nd.next
while nd :
yield nd.key
nd = nd.next
def __getitem__(self,key):
nd =self.slots[ self.myhash(key)].next
while nd:
if nd.key==key:
return nd.val
nd = nd.next
raise Exception(f'[KeyError]: {self.__class__.__name__} has no key {key}')
def __delitem__(self,key):
'''note that None item and item(None,None) differ with each other,
which means you should take care of them and correctly cop with None item
especially when deleting items
'''
n = self.myhash(key)
nd = self.slots[n].next
if nd.key == key:
if nd.next is None:
self.slots[n] = item(None,None) # be careful
else:self.slots[n] = nd.next
return
while nd:
if nd.next is None: break # necessary
if nd.next.key ==key:
nd.next = nd.next.next
nd = nd.next
def __str__(self):
li = ['\n\n'+'-'*5+'hashTable'+'-'*5]
for i,nd in enumerate(self.slots):
li.append(f'{i}: '+str(nd.next))
return '\n'.join(li)
```