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b7e3bb5470
commit
fbd246cf27
634
docs/dft.md
634
docs/dft.md
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@ -1,270 +1,364 @@
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<!-- TOC -->
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- [0.1. 定义](#01-定义)
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- [0.1.1. 连续](#011-连续)
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- [0.1.2. 离散](#012-离散)
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- [0.2. 性质](#02-性质)
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- [0.2.1. 分离性](#021-分离性)
|
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- [0.2.2. 位移定理](#022-位移定理)
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- [0.2.3. 周期性](#023-周期性)
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- [0.2.4. 共轭对称性](#024-共轭对称性)
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- [0.2.5. 旋转性](#025-旋转性)
|
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- [0.2.6. 加法定理](#026-加法定理)
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||||
- [0.2.7. 平均值](#027-平均值)
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- [0.2.8. 相似性定理](#028-相似性定理)
|
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- [0.2.9. 卷积定理](#029-卷积定理)
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- [0.2.10. 相关定理](#0210-相关定理)
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- [0.2.11. Rayleigh 定理](#0211-rayleigh-定理)
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- [0.3. 快速傅里叶变换](#03-快速傅里叶变换)
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- [0.3.1. 复数中的单位根](#031-复数中的单位根)
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- [0.3.2. 快速傅里叶变换的计算](#032-快速傅里叶变换的计算)
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- [0.4. 代码](#04-代码)
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- [0.5. 参考](#05-参考)
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<!-- /TOC -->
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图像处理中, 为了方便处理，便于抽取特征，数据压缩等目的，常常要将图像进行变换。
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一般有如下变换方法
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1. 傅立叶变换Fourier Transform
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2. 离散余弦变换Discrete Cosine Transform
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||||
3. 沃尔希-哈德玛变换Walsh-Hadamard Transform
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||||
4. 斜变换Slant Transform
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||||
5. 哈尔变换Haar Transform
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6. 离散K-L变换Discrete Karhunen-Leave Transform
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7. 奇异值分解SVD变换Singular-Value Decomposition
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8. 离散小波变换Discrete Wavelet Transform
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||||
这篇文章介绍一下傅里叶变换
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## 0.1. 定义
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### 0.1.1. 连续
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积分形式
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如果一个函数的绝对值的积分存在，即
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|dt<\infty&space;)
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并且函数是连续的或者只有有限个不连续点，则对于 x 的任何值， 函数的傅里叶变换存在
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- 一维傅里叶变换
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||||
=\int_{-\infty}&space;^\infty&space;h(t)e^{-j2\pi&space;ft}dt&space;)
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- 一维傅里叶逆变换
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||||
=\int_{-\infty}&space;^\infty&space;h(t)e^{j2\pi&space;ft}dt&space;)
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||||
同理多重积分
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### 0.1.2. 离散
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||||
实际应用中，多用离散傅里叶变换 DFT.
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- 一维傅里叶变换
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||||
=\sum_{x=0}&space;^{N-1}&space;f(x)e^{\frac{-2\pi&space;j}{N}&space;ux}&space;)
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||||
- 一维傅里叶逆变换
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||||
=\frac{1}{N}\sum_{u=0}&space;^{N-1}&space;F(u)e^{\frac{2\pi&space;j}{N}&space;ux}&space;)
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||||
需要注意的是， 逆变换乘以  是为了**归一化**，这个系数可以随意改变， 即可以正变换乘以 , 逆变换就不乘，或者两者都乘以等系数。
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||||
- 二维傅里叶变换
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||||
=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}&space;^{N-1}&space;f(x,y)e^{\frac{-2\pi&space;j}{N}&space;(ux+vy)}&space;)
|
||||
- 二维傅里叶逆变换
|
||||
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||||
=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}&space;^{N-1}&space;F(u,v)e^{\frac{2\pi&space;j}{N}&space;(ux+vy)}&space;)
|
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幅度
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|&space;=&space;\sqrt{real(F)^2+imag(F)^2}&space;)
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相位
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}{real(F)}}&space;)
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||||
对于图像的幅度谱显示，由于 |F(u,v)| 变换范围太大，一般显示 +1))
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用 `<=>` 表示傅里叶变换对
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<=>F(u)\\&space;f(x,y)<=>F(u,v)&space;)
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f,g,h 对应的傅里叶变换 F,G,H
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 表示  的共轭
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## 0.2. 性质
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### 0.2.1. 分离性
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=\sum_{y=0}&space;^{N-1}&space;f(x,y)e^{\frac{-2\pi&space;j}{N}&space;vy}\\&space;&F(u,v)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}F(x,v)e^{\frac{-2\pi&space;j}{N}ux}&space;\end{aligned}&space;)
|
||||
进行多维变换时，可以依次对每一维进行变换。 下面在代码中就是这样实现的。
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### 0.2.2. 位移定理
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e^{\frac{2\pi&space;j}{N}(u_0x+v_0y)}&space;<=>F(u-u_0,v-v_0)&space;)
|
||||
<=>F(u,v)e^{\frac{-2\pi&space;j}{N}(ux_0+vy_0)}&space;)
|
||||
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||||
### 0.2.3. 周期性
|
||||
&space;=&space;F(u+N,v+N)&space;)
|
||||
### 0.2.4. 共轭对称性
|
||||
&space;=&space;F^*(-u,-v))
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||||
a)偶分量函数在变换中产生偶分量函数;
|
||||
b)奇分量函数在变换中产生奇分量函数;
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||||
c)奇分量函数在变换中引入系数-j;
|
||||
d)偶分量函数在变换中不引入系数.
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### 0.2.5. 旋转性
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if <=>F(\omega,\phi)&space;)
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then <=>F(\omega,\phi+t)&space;)
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### 0.2.6. 加法定理
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1.
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2.
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<=>aF[u,v]&space;)
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### 0.2.7. 平均值
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&space;=&space;\frac{1}{N}F(0,0)&space;)
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### 0.2.8. 相似性定理
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尺度变换
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<=>\frac{F(\frac{u}{a},\frac{v}{b})}{ab}&space;)
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### 0.2.9. 卷积定理
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卷积定义
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1d
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g(x-m)&space;)
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2d
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*g(x,y)&space;=&space;\frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)g(x-m,y-n)&space;)
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||||
|
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卷积定理
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*g(x,y)&space;<=>&space;F(u,v)G(u,v)&space;)
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g(x,y)<=>F(u,v)*G(u,v)&space;)
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离散卷积
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用
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h[(k-i)T]&space;<=>&space;X(\frac{n}{NT})H(\frac{n}{NT})&space;)
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即两个周期为 N 的抽样函数， 他们的卷积的离散傅里叶变换等于他们的离散傅里叶变换的卷积
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卷积的应用：
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去除噪声， 特征增强
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||||
两个不同周期的信号卷积需要周期扩展的原因：如果直接进行傅里叶变换和乘积，会产生折叠误差(卷绕)。
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### 0.2.10. 相关定理
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||||
下面用 表示相关。
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相关函数描述了两个信号之间的相似性，其相关性大小有相关系数衡量
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- 相关函数的定义
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离散
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\quad&space;\infty&space;\quad&space;g(x,y)&space;=&space;\frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f^*(m,n)g(x+m,y+n)&space;)
|
||||
连续
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||||
&space;=&space;\int_{-\infty}^{\infty}x^*(\tau)&space;h(t+\tau)d\tau)
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||||
- 定理
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\quad&space;\infty&space;\quad&space;g(x,y)<=>F^*(u,v)G(u,v)&space;)
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### 0.2.11. Rayleigh 定理
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能量变换
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||||
对于有限区间非零函数 f(t), 其能量为
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|^2dt&space;)
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其变换函数与原函数有相同的能量
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|^2dt&space;=&space;\int_{-\infty}^{\infty}|F(u)|^2dt&space;)
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## 0.3. 快速傅里叶变换
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||||
由上面离散傅里叶变换的性质易知，直接计算 1维 dft 的时间复杂度维 )。
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利用到单位根的对称性，快速傅里叶变换可以达到 )的时间复杂度。
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### 0.3.1. 复数中的单位根
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我们知道， 在复平面，复数 k可以表示成 ， 可以对应一个向量。即为幅角。
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在**单位圆**中 ，单位圆被分成  份， 由单位圆的对称性
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}&space;)
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现在记  ， 即被分成 n 份，幅度角为正且最小的向量称为 n 次单位向量， 记为，
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其余的 n-1 个向量分别为  ，它们可以由复数之间的乘法得来 )。
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单位根的性质
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1. 这个可以用 e 表示出来证明
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2. 可以写成三角函数证明
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容易看出 。
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对于 , 它事实上就是  。
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### 0.3.2. 快速傅里叶变换的计算
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下面的推导假设 ，以及代码实现 FFT 部分也是 如此。
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利用上面的对称性，
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将傅里叶计算进行奇偶分组
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&=\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n&space;^{iu}&space;a^i\\&space;&=&space;\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_n&space;^{2iu}&space;a^{2i}+\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_n&space;^{(2i+1)u}&space;a^{2i+1}\\&space;&=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_{\frac{n}{2}}&space;^{iu}&space;a^{2i}+\omega_n^u\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_{\frac{n}{2}}&space;^{iu}&space;a^{2i+1}\\&space;&&space;=&space;F_{even}(u)+\omega_n^u&space;F_{odd}(u)&space;\end{aligned}&space;)
|
||||
表示将 输入的次序中偶数点进行 Fourier 变换，  同理，这样就形成递推公式。
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||||
现在还没有减少计算量，下面通过将分别计算的 奇项，偶项利用起来，只计算 前 项，后面的一半可以利用此结果马上算出来。每一次可以减少一半的计算量。
|
||||
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||||
对于 
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||||
&=F_{even}(\omega_{n}^{2i+n})+\omega_{n}^{i+\frac{n}{2}}\cdot&space;F_{odd}(\omega_{n}^{2i+n})\\&space;&=F_{even}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})+\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}}\cdot&space;F_{odd}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})\\&space;&&space;=F_{even}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i})-\omega_{\frac{n}{2}}^{i}\cdot&space;F_{odd}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i})&space;\end{aligned}&space;)
|
||||
现在很清楚了，在每次计算 a[0..n-1] 的傅里叶变换F[0..n-1]，分别计算出奇 odd[0..n/2-1]，偶even[0..n/2-1]（可以递归地进行），
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||||
那么傅里叶变换为：
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## 0.4. 代码
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||||
下面是 python 实现
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一维用 FFT 实现， 不过 只实现了 2 的幂。/ 对于非 2 的幂，用 FFT 实现有点困难，还需要插值，所以我 用) 直接实现。
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||||
二维的 DFT利用 分离性，直接调用 一维 FFT。
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||||
[GitHub](https://github.com/mbinary/algorithm)
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||||
```python
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||||
import numpy as np
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||||
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||||
def _fft(a, invert=False):
|
||||
N = len(a)
|
||||
if N == 1:
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||||
return [a[0]]
|
||||
elif N & (N - 1) == 0: # O(nlogn), 2^k
|
||||
even = _fft(a[::2], invert)
|
||||
odd = _fft(a[1::2], invert)
|
||||
i = 2j if invert else -2j
|
||||
factor = np.exp(i * np.pi * np.arange(N // 2) / N)
|
||||
prod = factor * odd
|
||||
return np.concatenate([even + prod, even - prod])
|
||||
else: # O(n^2)
|
||||
w = np.arange(N)
|
||||
i = 2j if invert else -2j
|
||||
m = w.reshape((N, 1)) * w
|
||||
W = np.exp(m * i * np.pi / N)
|
||||
return np.concatenate(np.dot(W, a.reshape(
|
||||
(N, 1)))) # important, cannot use *
|
||||
|
||||
|
||||
def fft(a):
|
||||
'''fourier[a]'''
|
||||
n = len(a)
|
||||
if n == 0:
|
||||
raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
|
||||
return _fft(a)
|
||||
|
||||
|
||||
def ifft(a):
|
||||
'''invert fourier[a]'''
|
||||
n = len(a)
|
||||
if n == 0:
|
||||
raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
|
||||
return _fft(a, True) / n
|
||||
|
||||
|
||||
def fft2(arr):
|
||||
return np.apply_along_axis(fft, 0,
|
||||
np.apply_along_axis(fft, 1, np.asarray(arr)))
|
||||
|
||||
|
||||
def ifft2(arr):
|
||||
return np.apply_along_axis(ifft, 0,
|
||||
np.apply_along_axis(ifft, 1, np.asarray(arr)))
|
||||
|
||||
|
||||
def test(n=128):
|
||||
print('\nsequence length:', n)
|
||||
print('fft')
|
||||
li = np.random.random(n)
|
||||
print(np.allclose(fft(li), np.fft.fft(li)))
|
||||
|
||||
print('ifft')
|
||||
li = np.random.random(n)
|
||||
print(np.allclose(ifft(li), np.fft.ifft(li)))
|
||||
|
||||
print('fft2')
|
||||
li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
|
||||
print(np.allclose(fft2(li), np.fft.fft2(li)))
|
||||
|
||||
print('ifft2')
|
||||
li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
|
||||
print(np.allclose(ifft2(li), np.fft.ifft2(li)))
|
||||
|
||||
|
||||
if __name__ == '__main__':
|
||||
for i in range(1, 3):
|
||||
test(i * 16)
|
||||
```
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## 0.5. 参考
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||||
- [万寿红老师课件]()
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||||
- [一小时学会快速傅里叶变换 Fast Fourier Transform](https://zhuanlan.zhihu.com/p/31584464)
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||||
- [快速傅里叶变换（FFT）算法【详解】](https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6919424.html)
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||||
title: 傅里叶变换
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||||
date: 2019-06-10 23:46
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||||
categories: 数学
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||||
tags: [数学, 图像处理]
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||||
keywords: FFT, 傅里叶变换, 图像处理
|
||||
mathjax: true
|
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description:
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||||
图像处理中, 为了方便处理，便于抽取特征，数据压缩等目的，常常要将图形进行变换,这篇文章介绍一下傅里叶变换
|
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<!-- TOC -->
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||||
- [定义](#定义)
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||||
- [连续](#连续)
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- [离散](#离散)
|
||||
- [性质](#性质)
|
||||
- [分离性](#分离性)
|
||||
- [位移定理](#位移定理)
|
||||
- [周期性](#周期性)
|
||||
- [共轭对称性](#共轭对称性)
|
||||
- [旋转性](#旋转性)
|
||||
- [加法定理](#加法定理)
|
||||
- [平均值](#平均值)
|
||||
- [相似性定理](#相似性定理)
|
||||
- [卷积定理](#卷积定理)
|
||||
- [相关定理](#相关定理)
|
||||
- [Rayleigh 定理](#rayleigh-定理)
|
||||
- [快速傅里叶变换](#快速傅里叶变换)
|
||||
- [复数中的单位根](#复数中的单位根)
|
||||
- [快速傅里叶变换的计算](#快速傅里叶变换的计算)
|
||||
- [代码](#代码)
|
||||
- [参考](#参考)
|
||||
|
||||
<!-- /TOC -->
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||||
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||||
|
||||
图像处理中, 为了方便处理，便于抽取特征，数据压缩等目的，常常要将图像进行变换。
|
||||
一般有如下变换方法
|
||||
1. 傅立叶变换Fourier Transform
|
||||
2. 离散余弦变换Discrete Cosine Transform
|
||||
3. 沃尔希-哈德玛变换Walsh-Hadamard Transform
|
||||
4. 斜变换Slant Transform
|
||||
5. 哈尔变换Haar Transform
|
||||
6. 离散K-L变换Discrete Karhunen-Leave Transform
|
||||
7. 奇异值分解SVD变换Singular-Value Decomposition
|
||||
8. 离散小波变换Discrete Wavelet Transform
|
||||
|
||||
这篇文章介绍一下傅里叶变换
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## 定义
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### 连续
|
||||
积分形式
|
||||
如果一个函数的绝对值的积分存在，即
|
||||
$$
|
||||
\int_{-\infty} ^\infty |h(t)|dt<\infty
|
||||
$$
|
||||
并且函数是连续的或者只有有限个不连续点，则对于 x 的任何值， 函数的傅里叶变换存在
|
||||
- 一维傅里叶变换
|
||||
$$
|
||||
H(f)=\int_{-\infty} ^\infty h(t)e^{-j2\pi ft}dt
|
||||
$$
|
||||
- 一维傅里叶逆变换
|
||||
$$
|
||||
H(f)=\int_{-\infty} ^\infty h(t)e^{j2\pi ft}dt
|
||||
$$
|
||||
同理多重积分
|
||||
### 离散
|
||||
实际应用中，多用离散傅里叶变换 DFT.
|
||||
- 一维傅里叶变换
|
||||
$$
|
||||
F(u)=\sum_{x=0} ^{N-1} f(x)e^{\frac{-2\pi j}{N} ux}
|
||||
$$
|
||||
- 一维傅里叶逆变换
|
||||
$$
|
||||
f(x)=\frac{1}{N}\sum_{u=0} ^{N-1} F(u)e^{\frac{2\pi j}{N} ux}
|
||||
$$
|
||||
需要注意的是， 逆变换乘以 $\frac{1}{N}$ 是为了**归一化**，这个系数可以随意改变， 即可以正变换乘以 $\frac{1}{N}$, 逆变换就不乘，或者两者都乘以$\frac{1}{\sqrt{N}}$等系数。
|
||||
- 二维傅里叶变换
|
||||
$$
|
||||
F(u,v)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0} ^{N-1} f(x,y)e^{\frac{-2\pi j}{N} (ux+vy)}
|
||||
$$
|
||||
- 二维傅里叶逆变换
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f(x,y)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0} ^{N-1} F(u,v)e^{\frac{2\pi j}{N} (ux+vy)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
幅度
|
||||
$$
|
||||
|F(u,v)| = \sqrt{real(F)^2+imag(F)^2}
|
||||
$$
|
||||
相位
|
||||
$$
|
||||
arctan{\frac{imag(F)}{real(F)}}
|
||||
$$
|
||||
对于图像的幅度谱显示，由于 |F(u,v)| 变换范围太大，一般显示 $D= log(|F(u,v)+1)$
|
||||
|
||||
用 `<=>` 表示傅里叶变换对
|
||||
$$
|
||||
f(x)<=>F(u)\\
|
||||
f(x,y)<=>F(u,v)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
f,g,h 对应的傅里叶变换 F,G,H
|
||||
|
||||
$F^*$ 表示 $F$ 的共轭
|
||||
## 性质
|
||||
### 分离性
|
||||
$$
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
&F(x,v)=\sum_{y=0} ^{N-1} f(x,y)e^{\frac{-2\pi j}{N} vy}\\
|
||||
&F(u,v)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}F(x,v)e^{\frac{-2\pi j}{N}ux}
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||||
\end{aligned}
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$$
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||||
进行多维变换时，可以依次对每一维进行变换。 下面在代码中就是这样实现的。
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### 位移定理
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$$
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||||
f(x,y)e^{\frac{2\pi j}{N}(u_0x+v_0y)} <=>F(u-u_0,v-v_0)
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||||
$$
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||||
$$
|
||||
f(x-x_0,y-y_0)<=>F(u,v)e^{\frac{-2\pi j}{N}(ux_0+vy_0)}
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||||
$$
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||||
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||||
### 周期性
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$$
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||||
F(u,v) = F(u+N,v+N)
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$$
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||||
### 共轭对称性
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$$F(u,v) = F^*(-u,-v)$$
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a)偶分量函数在变换中产生偶分量函数;
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||||
b)奇分量函数在变换中产生奇分量函数;
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||||
c)奇分量函数在变换中引入系数-j;
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||||
d)偶分量函数在变换中不引入系数.
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### 旋转性
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if $$
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f(r,\theta)<=>F(\omega,\phi)
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$$
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then $$f(r,\theta+t)<=>F(\omega,\phi+t)
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$$
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### 加法定理
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1.
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$$
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Fourier[f+g]=Fourier[f]+Fourier[g]
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$$
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2.
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$$
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af(x,y)<=>aF[u,v]
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$$
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||||
### 平均值
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$$
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||||
\frac{1}{N^2}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0} ^{N-1} f(x,y) = \frac{1}{N}F(0,0)
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||||
$$
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||||
### 相似性定理
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||||
尺度变换
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$$
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f(ax,by)<=>\frac{F(\frac{u}{a},\frac{v}{b})}{ab}
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$$
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### 卷积定理
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卷积定义
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1d
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$$
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f*g = \frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}f(m)g(x-m)
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$$
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||||
2d
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||||
$$
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||||
f(x,y)*g(x,y) = \frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)g(x-m,y-n)
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||||
$$
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||||
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||||
卷积定理
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||||
$$
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||||
f(x,y)*g(x,y) <=> F(u,v)G(u,v)
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||||
$$
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||||
$$
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||||
f(x,y)g(x,y)<=>F(u,v)*G(u,v)
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||||
$$
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||||
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||||
离散卷积
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||||
用
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||||
$$
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\sum_{i=0}^{N-1}x(iT)h[(k-i)T] <=> X(\frac{n}{NT})H(\frac{n}{NT})
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$$
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||||
即两个周期为 N 的抽样函数， 他们的卷积的离散傅里叶变换等于他们的离散傅里叶变换的卷积
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卷积的应用：
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去除噪声， 特征增强
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两个不同周期的信号卷积需要周期扩展的原因：如果直接进行傅里叶变换和乘积，会产生折叠误差(卷绕)。
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### 相关定理
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下面用$ \infty$ 表示相关。
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相关函数描述了两个信号之间的相似性，其相关性大小有相关系数衡量
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- 相关函数的定义
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离散
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$$f(x,y)\quad \infty \quad g(x,y) = \frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f^*(m,n)g(x+m,y+n)
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||||
$$
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||||
连续
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||||
$$z(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x^*(\tau) h(t+\tau)d\tau$$
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||||
- 定理
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||||
$$
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||||
f(x,y)\quad \infty \quad g(x,y)<=>F^*(u,v)G(u,v)
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||||
$$
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### Rayleigh 定理
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能量变换
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对于有限区间非零函数 f(t), 其能量为
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$$
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E = \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt
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$$
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||||
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||||
其变换函数与原函数有相同的能量
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||||
$$
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||||
\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt = \int_{-\infty}^{\infty}|F(u)|^2dt
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||||
$$
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||||
## 快速傅里叶变换
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由上面离散傅里叶变换的性质易知，直接计算 1维 dft 的时间复杂度维 $O(N^2)$。
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利用到单位根的对称性，快速傅里叶变换可以达到 $O(nlogn)$的时间复杂度。
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### 复数中的单位根
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我们知道， 在复平面，复数 $cos\theta +i\ sin\theta$k可以表示成 $e^{i\theta}$， 可以对应一个向量。$\theta$即为幅角。
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||||
在**单位圆**中 ，单位圆被分成 $\frac{2\pi}{\theta}$ 份， 由单位圆的对称性
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$$
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||||
e^{i\theta} = e^{i(\theta+2\pi)}
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$$
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||||
现在记 $ n =\frac{ 2\pi }{\theta}$ ， 即被分成 n 份，幅度角为正且最小的向量称为 n 次单位向量， 记为$\omega _n$，
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||||
其余的 n-1 个向量分别为 $\omega_{n}^{2},\omega_{n}^{3},\ldots,\omega_{n}^{n}$ ，它们可以由复数之间的乘法得来 $w_{n}^{k}=w_{n}^{k-1}\cdot w_{n}^{1}\ (2 \leq k \leq n) $。
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单位根的性质
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1. 这个可以用 e 表示出来证明
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$$
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||||
\omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k}
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$$
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||||
2. 可以写成三角函数证明
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$$
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||||
\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}=-\omega_{n}^{k}
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$$
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容易看出 $w_{n}^{n}=w_{n}^{0}=1 $。
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对于$ w_{n}^{k}$ , 它事实上就是 $e^{\frac{2\pi i}{n}k}$ 。
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### 快速傅里叶变换的计算
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||||
下面的推导假设 $n=2^k$，以及代码实现 FFT 部分也是 如此。
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利用上面的对称性，
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将傅里叶计算进行奇偶分组
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$$
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\begin{aligned}
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||||
F(u)&=\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n ^{iu} a^i\\
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||||
&= \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_n ^{2iu} a^{2i}+\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_n ^{(2i+1)u} a^{2i+1}\\
|
||||
&=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_{\frac{n}{2}} ^{iu} a^{2i}+\omega_n^u\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_{\frac{n}{2}} ^{iu} a^{2i+1}\\
|
||||
& = F_{even}(u)+\omega_n^u F_{odd}(u)
|
||||
\end{aligned}
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||||
$$
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||||
$F_{even}$表示将 输入的次序中偶数点进行 Fourier 变换， $F_{odd}$ 同理，这样就形成递推公式。
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||||
现在还没有减少计算量，下面通过将分别计算的 奇项，偶项利用起来，只计算 前 $\frac{n}{2}-1$项，后面的一半可以利用此结果马上算出来。每一次可以减少一半的计算量。
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||||
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||||
对于 $\frac{n}{2}\leq i+\frac{n}{2}\leq n-1$
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||||
$$
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||||
\begin{aligned}
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||||
F(\omega_{n}^{i+\frac{n}{2}})&=F_{even}(\omega_{n}^{2i+n})+\omega_{n}^{i+\frac{n}{2}}\cdot F_{odd}(\omega_{n}^{2i+n})\\
|
||||
&=F_{even}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})+\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}}\cdot F_{odd}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})\\
|
||||
& =F_{even}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i})-\omega_{\frac{n}{2}}^{i}\cdot F_{odd}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i})
|
||||
\end{aligned}
|
||||
$$
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||||
现在很清楚了，在每次计算 a[0..n-1] 的傅里叶变换F[0..n-1]，分别计算出奇 odd[0..n/2-1]，偶even[0..n/2-1]（可以递归地进行），
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||||
那么傅里叶变换为：
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||||
$$
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||||
F[i] = \begin{cases}
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||||
even[i]+ \omega^i \cdot odd[i], \quad i<\frac{n}{2}\\
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||||
even[i]- \omega^i \cdot odd[i], \quad else
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||||
\end{cases}
|
||||
$$
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||||
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||||
## 代码
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||||
下面是 python 实现
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一维用 FFT 实现， 不过 只实现了 2 的幂。/ 对于非 2 的幂，用 FFT 实现有点困难，还需要插值，所以我 用$O(n^2)$ 直接实现。
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二维的 DFT利用 分离性，直接调用 一维 FFT。
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[GitHub](https://github.com/mbinary/algorithm)
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||||
```python
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import numpy as np
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||||
def _fft(a, invert=False):
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||||
N = len(a)
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||||
if N == 1:
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||||
return [a[0]]
|
||||
elif N & (N - 1) == 0: # O(nlogn), 2^k
|
||||
even = _fft(a[::2], invert)
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||||
odd = _fft(a[1::2], invert)
|
||||
i = 2j if invert else -2j
|
||||
factor = np.exp(i * np.pi * np.arange(N // 2) / N)
|
||||
prod = factor * odd
|
||||
return np.concatenate([even + prod, even - prod])
|
||||
else: # O(n^2)
|
||||
w = np.arange(N)
|
||||
i = 2j if invert else -2j
|
||||
m = w.reshape((N, 1)) * w
|
||||
W = np.exp(m * i * np.pi / N)
|
||||
return np.concatenate(np.dot(W, a.reshape(
|
||||
(N, 1)))) # important, cannot use *
|
||||
|
||||
|
||||
def fft(a):
|
||||
'''fourier[a]'''
|
||||
n = len(a)
|
||||
if n == 0:
|
||||
raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
|
||||
return _fft(a)
|
||||
|
||||
|
||||
def ifft(a):
|
||||
'''invert fourier[a]'''
|
||||
n = len(a)
|
||||
if n == 0:
|
||||
raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
|
||||
return _fft(a, True) / n
|
||||
|
||||
|
||||
def fft2(arr):
|
||||
return np.apply_along_axis(fft, 0,
|
||||
np.apply_along_axis(fft, 1, np.asarray(arr)))
|
||||
|
||||
|
||||
def ifft2(arr):
|
||||
return np.apply_along_axis(ifft, 0,
|
||||
np.apply_along_axis(ifft, 1, np.asarray(arr)))
|
||||
|
||||
|
||||
def test(n=128):
|
||||
print('\nsequence length:', n)
|
||||
print('fft')
|
||||
li = np.random.random(n)
|
||||
print(np.allclose(fft(li), np.fft.fft(li)))
|
||||
|
||||
print('ifft')
|
||||
li = np.random.random(n)
|
||||
print(np.allclose(ifft(li), np.fft.ifft(li)))
|
||||
|
||||
print('fft2')
|
||||
li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
|
||||
print(np.allclose(fft2(li), np.fft.fft2(li)))
|
||||
|
||||
print('ifft2')
|
||||
li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
|
||||
print(np.allclose(ifft2(li), np.fft.ifft2(li)))
|
||||
|
||||
|
||||
if __name__ == '__main__':
|
||||
for i in range(1, 3):
|
||||
test(i * 16)
|
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```
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## 参考
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- [万寿红老师课件]()
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||||
- [一小时学会快速傅里叶变换 Fast Fourier Transform](https://zhuanlan.zhihu.com/p/31584464)
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||||
- [快速傅里叶变换（FFT）算法【详解】](https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6919424.html)
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