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----
-title: 傅里叶变换
-date: 2019-06-10  23:46
-categories: 数学
-tags: [数学, 图像处理]
-keywords: FFT, 傅里叶变换, 图像处理 
-mathjax: true
-description: 
-    图像处理中, 为了方便处理，便于抽取特征，数据压缩等目的，常常要将图形进行变换,这篇文章介绍一下傅里叶变换
----
-<!-- TOC -->
-
-- [定义](#定义)
-    - [连续](#连续)
-    - [离散](#离散)
-- [性质](#性质)
-    - [分离性](#分离性)
-    - [位移定理](#位移定理)
-    - [周期性](#周期性)
-    - [共轭对称性](#共轭对称性)
-    - [旋转性](#旋转性)
-    - [加法定理](#加法定理)
-    - [平均值](#平均值)
-    - [相似性定理](#相似性定理)
-    - [卷积定理](#卷积定理)
-    - [相关定理](#相关定理)
-    - [Rayleigh 定理](#rayleigh-定理)
-- [快速傅里叶变换](#快速傅里叶变换)
-    - [复数中的单位根](#复数中的单位根)
-    - [快速傅里叶变换的计算](#快速傅里叶变换的计算)
-- [代码](#代码)
-- [参考](#参考)
-
-<!-- /TOC -->
-
-
-图像处理中, 为了方便处理，便于抽取特征，数据压缩等目的，常常要将图像进行变换。
-一般有如下变换方法
-1. 傅立叶变换Fourier Transform 
-2. 离散余弦变换Discrete Cosine Transform 
-3. 沃尔希-哈德玛变换Walsh-Hadamard Transform 
-4. 斜变换Slant Transform 
-5. 哈尔变换Haar Transform 
-6. 离散K-L变换Discrete Karhunen-Leave Transform 
-7. 奇异值分解SVD变换Singular-Value Decomposition 
-8. 离散小波变换Discrete Wavelet Transform 
-
-这篇文章介绍一下傅里叶变换
-
-
-
-## 定义
-### 连续
-积分形式
-如果一个函数的绝对值的积分存在，即
-$$
-\int_{-\infty} ^\infty |h(t)|dt<\infty
-$$
-并且函数是连续的或者只有有限个不连续点，则对于 x 的任何值， 函数的傅里叶变换存在
-- 一维傅里叶变换
-$$
-H(f)=\int_{-\infty} ^\infty h(t)e^{-j2\pi ft}dt
-$$
-- 一维傅里叶逆变换
-$$
-H(f)=\int_{-\infty} ^\infty h(t)e^{j2\pi ft}dt
-$$
-同理多重积分
-### 离散
-实际应用中，多用离散傅里叶变换 DFT.
-- 一维傅里叶变换
-$$
-F(u)=\sum_{x=0} ^{N-1} f(x)e^{\frac{-2\pi j}{N} ux}
-$$
-- 一维傅里叶逆变换
-$$
-f(x)=\frac{1}{N}\sum_{u=0} ^{N-1} F(u)e^{\frac{2\pi j}{N} ux}
-$$
-需要注意的是， 逆变换乘以 $\frac{1}{N}$ 是为了**归一化**，这个系数可以随意改变， 即可以正变换乘以 $\frac{1}{N}$, 逆变换就不乘，或者两者都乘以$\frac{1}{\sqrt{N}}$等系数。
-- 二维傅里叶变换
-$$
-F(u,v)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0} ^{N-1} f(x,y)e^{\frac{-2\pi j}{N} (ux+vy)}
-$$
-- 二维傅里叶逆变换
-
-$$
-f(x,y)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0} ^{N-1} F(u,v)e^{\frac{2\pi j}{N} (ux+vy)}
-$$
-
-幅度
-$$
-|F(u,v)| = \sqrt{real(F)^2+imag(F)^2}
-$$
-相位
-$$
-arctan{\frac{imag(F)}{real(F)}}
-$$
-对于图像的幅度谱显示，由于 |F(u,v)| 变换范围太大，一般显示 $D= log(|F(u,v)+1)$
-
-用 `<=>` 表示傅里叶变换对
-$$
-f(x)<=>F(u)\\
-f(x,y)<=>F(u,v)
-$$
-
-f,g,h 对应的傅里叶变换 F,G,H
-
-$F^*$ 表示 $F$ 的共轭
-## 性质
-### 分离性
-$$
-\begin{aligned}
-&F(x,v)=\sum_{y=0} ^{N-1} f(x,y)e^{\frac{-2\pi j}{N} vy}\\
-&F(u,v)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}F(x,v)e^{\frac{-2\pi j}{N}ux}
-\end{aligned}
-$$
-进行多维变换时，可以依次对每一维进行变换。 下面在代码中就是这样实现的。
-### 位移定理
-$$
-f(x,y)e^{\frac{2\pi j}{N}(u_0x+v_0y)} <=>F(u-u_0,v-v_0)
-$$
-$$
-f(x-x_0,y-y_0)<=>F(u,v)e^{\frac{-2\pi j}{N}(ux_0+vy_0)} 
-$$
-
-### 周期性
-$$
-F(u,v) = F(u+N,v+N)
-$$
-### 共轭对称性
-$$F(u,v) = F^*(-u,-v)$$
-a)偶分量函数在变换中产生偶分量函数; 
-b)奇分量函数在变换中产生奇分量函数; 
-c)奇分量函数在变换中引入系数-j; 
-d)偶分量函数在变换中不引入系数. 
-
-### 旋转性
-if $$
-f(r,\theta)<=>F(\omega,\phi) 
-$$
-then $$f(r,\theta+t)<=>F(\omega,\phi+t)
-$$
-### 加法定理
-1.
-$$
-Fourier[f+g]=Fourier[f]+Fourier[g]
-$$
-2.
-$$
-af(x,y)<=>aF[u,v]
-$$
-
-### 平均值
-$$
-\frac{1}{N^2}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0} ^{N-1} f(x,y) = \frac{1}{N}F(0,0)
-$$
-### 相似性定理
-尺度变换
-$$
-f(ax,by)<=>\frac{F(\frac{u}{a},\frac{v}{b})}{ab}
-$$
-
-### 卷积定理
-卷积定义
-1d
-$$
-f*g = \frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}f(m)g(x-m)
-$$
-2d
-$$
-f(x,y)*g(x,y) = \frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)g(x-m,y-n)
-$$
-
-卷积定理
-$$
-f(x,y)*g(x,y) <=> F(u,v)G(u,v)
-$$
-$$
-f(x,y)g(x,y)<=>F(u,v)*G(u,v)
-$$
-
-离散卷积
-用
-$$
-\sum_{i=0}^{N-1}x(iT)h[(k-i)T] <=> X(\frac{n}{NT})H(\frac{n}{NT})
-$$
-即两个周期为 N 的抽样函数， 他们的卷积的离散傅里叶变换等于他们的离散傅里叶变换的卷积
-
-卷积的应用：
-去除噪声， 特征增强
-两个不同周期的信号卷积需要周期扩展的原因：如果直接进行傅里叶变换和乘积，会产生折叠误差(卷绕)。
-
-### 相关定理
-下面用$ \infty$ 表示相关。
-相关函数描述了两个信号之间的相似性，其相关性大小有相关系数衡量
-
-- 相关函数的定义
-离散
-$$f(x,y)\quad  \infty \quad g(x,y) =  \frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f^*(m,n)g(x+m,y+n)
-$$
-连续
-$$z(t) = \int_{-\infty}^{\infty}x^*(\tau) h(t+\tau)d\tau$$
-- 定理
-$$
-f(x,y)\quad  \infty \quad g(x,y)<=>F^*(u,v)G(u,v)
-$$
-### Rayleigh 定理
-能量变换
-对于有限区间非零函数 f(t), 其能量为
-$$
-E = \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt
-$$
-
-其变换函数与原函数有相同的能量
-$$
- \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt =  \int_{-\infty}^{\infty}|F(u)|^2dt
-$$
-## 快速傅里叶变换
-由上面离散傅里叶变换的性质易知，直接计算 1维 dft 的时间复杂度维 $O(N^2)$。
-
-利用到单位根的对称性，快速傅里叶变换可以达到 $O(nlogn)$的时间复杂度。
-
-
-### 复数中的单位根
-我们知道， 在复平面，复数 $cos\theta +i\ sin\theta$k可以表示成 $e^{i\theta}$， 可以对应一个向量。$\theta$即为幅角。
- 在**单位圆**中 ，单位圆被分成 $\frac{2\pi}{\theta}$ 份， 由单位圆的对称性 
-$$
-e^{i\theta} = e^{i(\theta+2\pi)}
-$$
-现在记 $ n =\frac{ 2\pi }{\theta}$ ， 即被分成 n 份，幅度角为正且最小的向量称为 n 次单位向量， 记为$\omega _n$，
-其余的 n-1 个向量分别为 $\omega_{n}^{2},\omega_{n}^{3},\ldots,\omega_{n}^{n}$ ，它们可以由复数之间的乘法得来 $w_{n}^{k}=w_{n}^{k-1}\cdot w_{n}^{1}\ (2 \leq k \leq n) $。
-单位根的性质
-1. 这个可以用 e 表示出来证明
-$$
-\omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k}
-$$
-2. 可以写成三角函数证明
-$$
-\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}=-\omega_{n}^{k} 
-$$
-
-容易看出 $w_{n}^{n}=w_{n}^{0}=1 $。
-
-对于$ w_{n}^{k}$ , 它事实上就是 $e^{\frac{2\pi i}{n}k}$ 。
-### 快速傅里叶变换的计算
-下面的推导假设 $n=2^k$，以及代码实现 FFT 部分也是 如此。
-
-利用上面的对称性，
-将傅里叶计算进行奇偶分组
-$$
-\begin{aligned}
-F(u)&=\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n ^{iu} a^i\\
-       &= \sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_n ^{2iu} a^{2i}+\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_n ^{(2i+1)u} a^{2i+1}\\
-      &=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_{\frac{n}{2}} ^{iu} a^{2i}+\omega_n^u\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_{\frac{n}{2}} ^{iu} a^{2i+1}\\
-      & = F_{even}(u)+\omega_n^u F_{odd}(u)
-\end{aligned}
-$$
-$F_{even}$表示将 输入的次序中偶数点进行 Fourier 变换， $F_{odd}$ 同理，这样就形成递推公式。
-现在还没有减少计算量，下面通过将分别计算的 奇项，偶项利用起来，只计算 前 $\frac{n}{2}-1$项，后面的一半可以利用此结果马上算出来。每一次可以减少一半的计算量。
-
-对于 $\frac{n}{2}\leq i+\frac{n}{2}\leq n-1$
-$$
-\begin{aligned}
-F(\omega_{n}^{i+\frac{n}{2}})&=F_{even}(\omega_{n}^{2i+n})+\omega_{n}^{i+\frac{n}{2}}\cdot F_{odd}(\omega_{n}^{2i+n})\\
- &=F_{even}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})+\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}}\cdot F_{odd}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})\\
-     & =F_{even}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i})-\omega_{\frac{n}{2}}^{i}\cdot F_{odd}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i})
-\end{aligned}
-$$
-现在很清楚了，在每次计算 a[0..n-1] 的傅里叶变换F[0..n-1]，分别计算出奇 odd[0..n/2-1]，偶even[0..n/2-1]（可以递归地进行），
-那么傅里叶变换为：
-$$
-F[i] = \begin{cases}
-even[i]+ \omega^i \cdot odd[i], \quad i<\frac{n}{2}\\
-even[i]- \omega^i \cdot odd[i], \quad else
-\end{cases}
-$$
-
-## 代码
-下面是 python 实现
-一维用 FFT 实现， 不过 只实现了 2 的幂。/ 对于非 2 的幂，用 FFT 实现有点困难，还需要插值，所以我 用$O(n^2)$ 直接实现。
-
-二维的 DFT利用 分离性，直接调用 一维 FFT。
-[GitHub](https://github.com/mbinary/algorithm)
-
-```python
-import numpy as np
-
-
-def _fft(a, invert=False):
-    N = len(a)
-    if N == 1:
-        return [a[0]]
-    elif N & (N - 1) == 0:  # O(nlogn),  2^k
-        even = _fft(a[::2], invert)
-        odd = _fft(a[1::2], invert)
-        i = 2j if invert else -2j
-        factor = np.exp(i * np.pi * np.arange(N // 2) / N)
-        prod = factor * odd
-        return np.concatenate([even + prod, even - prod])
-    else:  # O(n^2)
-        w = np.arange(N)
-        i = 2j if invert else -2j
-        m = w.reshape((N, 1)) * w
-        W = np.exp(m * i * np.pi / N)
-        return np.concatenate(np.dot(W, a.reshape(
-            (N, 1))))  # important, cannot use *
-
-
-def fft(a):
-    '''fourier[a]'''
-    n = len(a)
-    if n == 0:
-        raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
-    return _fft(a)
-
-
-def ifft(a):
-    '''invert fourier[a]'''
-    n = len(a)
-    if n == 0:
-        raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
-    return _fft(a, True) / n
-
-
-def fft2(arr):
-    return np.apply_along_axis(fft, 0,
-                               np.apply_along_axis(fft, 1, np.asarray(arr)))
-
-
-def ifft2(arr):
-    return np.apply_along_axis(ifft, 0,
-                               np.apply_along_axis(ifft, 1, np.asarray(arr)))
-
-
-def test(n=128):
-    print('\nsequence length:', n)
-    print('fft')
-    li = np.random.random(n)
-    print(np.allclose(fft(li), np.fft.fft(li)))
-
-    print('ifft')
-    li = np.random.random(n)
-    print(np.allclose(ifft(li), np.fft.ifft(li)))
-
-    print('fft2')
-    li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
-    print(np.allclose(fft2(li), np.fft.fft2(li)))
-
-    print('ifft2')
-    li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
-    print(np.allclose(ifft2(li), np.fft.ifft2(li)))
-
-
-if __name__ == '__main__':
-    for i in range(1, 3):
-        test(i * 16)
-```
-
-## 参考
-- [万寿红老师课件]()
-- [一小时学会快速傅里叶变换 Fast Fourier Transform](https://zhuanlan.zhihu.com/p/31584464)
-- [快速傅里叶变换（FFT）算法【详解】](https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6919424.html)
-
-
+---
+title: 傅里叶变换
+date: 2019-06-10  23:46
+categories: 数学
+tags: [数学, 图像处理]
+keywords: FFT, 傅里叶变换, 图像处理 
+mathjax: true
+description: 
+    图像处理中, 为了方便处理，便于抽取特征，数据压缩等目的，常常要将图形进行变换,这篇文章介绍一下傅里叶变换
+---
+<!-- TOC -->
+
+- [定义](#定义)
+    - [连续](#连续)
+    - [离散](#离散)
+- [性质](#性质)
+    - [分离性](#分离性)
+    - [位移定理](#位移定理)
+    - [周期性](#周期性)
+    - [共轭对称性](#共轭对称性)
+    - [旋转性](#旋转性)
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+    - [卷积定理](#卷积定理)
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+- [代码](#代码)
+- [参考](#参考)
+
+<!-- /TOC -->
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+
+图像处理中, 为了方便处理，便于抽取特征，数据压缩等目的，常常要将图像进行变换。
+一般有如下变换方法
+1. 傅立叶变换Fourier Transform 
+2. 离散余弦变换Discrete Cosine Transform 
+3. 沃尔希-哈德玛变换Walsh-Hadamard Transform 
+4. 斜变换Slant Transform 
+5. 哈尔变换Haar Transform 
+6. 离散K-L变换Discrete Karhunen-Leave Transform 
+7. 奇异值分解SVD变换Singular-Value Decomposition 
+8. 离散小波变换Discrete Wavelet Transform 
+
+这篇文章介绍一下傅里叶变换
+
+
+
+## 定义
+### 连续
+积分形式
+如果一个函数的绝对值的积分存在，即
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\int_{-\infty}&space;^\infty&space;|h(t)|dt<\infty&space;)
+并且函数是连续的或者只有有限个不连续点，则对于 x 的任何值， 函数的傅里叶变换存在
+- 一维傅里叶变换
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;H(f)=\int_{-\infty}&space;^\infty&space;h(t)e^{-j2\pi&space;ft}dt&space;)
+- 一维傅里叶逆变换
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;H(f)=\int_{-\infty}&space;^\infty&space;h(t)e^{j2\pi&space;ft}dt&space;)
+同理多重积分
+### 离散
+实际应用中，多用离散傅里叶变换 DFT.
+- 一维傅里叶变换
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;F(u)=\sum_{x=0}&space;^{N-1}&space;f(x)e^{\frac{-2\pi&space;j}{N}&space;ux}&space;)
+- 一维傅里叶逆变换
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;f(x)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}&space;^{N-1}&space;F(u)e^{\frac{2\pi&space;j}{N}&space;ux}&space;)
+需要注意的是， 逆变换乘以 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{N}) 是为了**归一化**，这个系数可以随意改变， 即可以正变换乘以 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{N}), 逆变换就不乘，或者两者都乘以![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{\sqrt{N}})等系数。
+- 二维傅里叶变换
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;F(u,v)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}&space;^{N-1}&space;f(x,y)e^{\frac{-2\pi&space;j}{N}&space;(ux+vy)}&space;)
+- 二维傅里叶逆变换
+
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;f(x,y)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}&space;^{N-1}&space;F(u,v)e^{\frac{2\pi&space;j}{N}&space;(ux+vy)}&space;)
+
+幅度
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;|F(u,v)|&space;=&space;\sqrt{real(F)^2+imag(F)^2}&space;)
+相位
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;arctan{\frac{imag(F)}{real(F)}}&space;)
+对于图像的幅度谱显示，由于 |F(u,v)| 变换范围太大，一般显示 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?D=&space;log(|F(u,v)+1))
+
+用 `<=>` 表示傅里叶变换对
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;f(x)<=>F(u)\\&space;f(x,y)<=>F(u,v)&space;)
+
+f,g,h 对应的傅里叶变换 F,G,H
+
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?F^*) 表示 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?F) 的共轭
+## 性质
+### 分离性
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\begin{aligned}&space;&F(x,v)=\sum_{y=0}&space;^{N-1}&space;f(x,y)e^{\frac{-2\pi&space;j}{N}&space;vy}\\&space;&F(u,v)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}F(x,v)e^{\frac{-2\pi&space;j}{N}ux}&space;\end{aligned}&space;)
+进行多维变换时，可以依次对每一维进行变换。 下面在代码中就是这样实现的。
+### 位移定理
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;f(x,y)e^{\frac{2\pi&space;j}{N}(u_0x+v_0y)}&space;<=>F(u-u_0,v-v_0)&space;)
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;f(x-x_0,y-y_0)<=>F(u,v)e^{\frac{-2\pi&space;j}{N}(ux_0+vy_0)}&space;)
+
+### 周期性
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;F(u,v)&space;=&space;F(u+N,v+N)&space;)
+### 共轭对称性
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?F(u,v)&space;=&space;F^*(-u,-v))
+a)偶分量函数在变换中产生偶分量函数; 
+b)奇分量函数在变换中产生奇分量函数; 
+c)奇分量函数在变换中引入系数-j; 
+d)偶分量函数在变换中不引入系数. 
+
+### 旋转性
+if ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;f(r,\theta)<=>F(\omega,\phi)&space;)
+then ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?f(r,\theta+t)<=>F(\omega,\phi+t)&space;)
+### 加法定理
+1.
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;Fourier[f+g]=Fourier[f]+Fourier[g]&space;)
+2.
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;af(x,y)<=>aF[u,v]&space;)
+
+### 平均值
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\frac{1}{N^2}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}&space;^{N-1}&space;f(x,y)&space;=&space;\frac{1}{N}F(0,0)&space;)
+### 相似性定理
+尺度变换
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;f(ax,by)<=>\frac{F(\frac{u}{a},\frac{v}{b})}{ab}&space;)
+
+### 卷积定理
+卷积定义
+1d
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;f*g&space;=&space;\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}f(m)g(x-m)&space;)
+2d
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;f(x,y)*g(x,y)&space;=&space;\frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f(m,n)g(x-m,y-n)&space;)
+
+卷积定理
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;f(x,y)*g(x,y)&space;<=>&space;F(u,v)G(u,v)&space;)
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;f(x,y)g(x,y)<=>F(u,v)*G(u,v)&space;)
+
+离散卷积
+用
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\sum_{i=0}^{N-1}x(iT)h[(k-i)T]&space;<=>&space;X(\frac{n}{NT})H(\frac{n}{NT})&space;)
+即两个周期为 N 的抽样函数， 他们的卷积的离散傅里叶变换等于他们的离散傅里叶变换的卷积
+
+卷积的应用：
+去除噪声， 特征增强
+两个不同周期的信号卷积需要周期扩展的原因：如果直接进行傅里叶变换和乘积，会产生折叠误差(卷绕)。
+
+### 相关定理
+下面用![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\infty) 表示相关。
+相关函数描述了两个信号之间的相似性，其相关性大小有相关系数衡量
+
+- 相关函数的定义
+离散
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)\quad&space;\infty&space;\quad&space;g(x,y)&space;=&space;\frac{1}{MN}\sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1}f^*(m,n)g(x+m,y+n)&space;)
+连续
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?z(t)&space;=&space;\int_{-\infty}^{\infty}x^*(\tau)&space;h(t+\tau)d\tau)
+- 定理
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;f(x,y)\quad&space;\infty&space;\quad&space;g(x,y)<=>F^*(u,v)G(u,v)&space;)
+### Rayleigh 定理
+能量变换
+对于有限区间非零函数 f(t), 其能量为
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;E&space;=&space;\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt&space;)
+
+其变换函数与原函数有相同的能量
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt&space;=&space;\int_{-\infty}^{\infty}|F(u)|^2dt&space;)
+## 快速傅里叶变换
+由上面离散傅里叶变换的性质易知，直接计算 1维 dft 的时间复杂度维 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?O(N^2))。
+
+利用到单位根的对称性，快速傅里叶变换可以达到 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?O(nlogn))的时间复杂度。
+
+
+### 复数中的单位根
+我们知道， 在复平面，复数 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?cos\theta&space;+i\&space;sin\theta)k可以表示成 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?e^{i\theta})， 可以对应一个向量。![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\theta)即为幅角。
+ 在**单位圆**中 ，单位圆被分成 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{2\pi}{\theta}) 份， 由单位圆的对称性 
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;e^{i\theta}&space;=&space;e^{i(\theta+2\pi)}&space;)
+现在记 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?n&space;=\frac{&space;2\pi&space;}{\theta}) ， 即被分成 n 份，幅度角为正且最小的向量称为 n 次单位向量， 记为![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\omega&space;_n)，
+其余的 n-1 个向量分别为 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\omega_{n}^{2},\omega_{n}^{3},\ldots,\omega_{n}^{n}) ，它们可以由复数之间的乘法得来 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?w_{n}^{k}=w_{n}^{k-1}\cdot&space;w_{n}^{1}\&space;(2&space;\leq&space;k&space;\leq&space;n))。
+单位根的性质
+1. 这个可以用 e 表示出来证明
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k}&space;)
+2. 可以写成三角函数证明
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}=-\omega_{n}^{k}&space;)
+
+容易看出 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?w_{n}^{n}=w_{n}^{0}=1)。
+
+对于![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?w_{n}^{k}) , 它事实上就是 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?e^{\frac{2\pi&space;i}{n}k}) 。
+### 快速傅里叶变换的计算
+下面的推导假设 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?n=2^k)，以及代码实现 FFT 部分也是 如此。
+
+利用上面的对称性，
+将傅里叶计算进行奇偶分组
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\begin{aligned}&space;F(u)&=\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n&space;^{iu}&space;a^i\\&space;&=&space;\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_n&space;^{2iu}&space;a^{2i}+\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_n&space;^{(2i+1)u}&space;a^{2i+1}\\&space;&=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_{\frac{n}{2}}&space;^{iu}&space;a^{2i}+\omega_n^u\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}\omega_{\frac{n}{2}}&space;^{iu}&space;a^{2i+1}\\&space;&&space;=&space;F_{even}(u)+\omega_n^u&space;F_{odd}(u)&space;\end{aligned}&space;)
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?F_{even})表示将 输入的次序中偶数点进行 Fourier 变换， ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?F_{odd}) 同理，这样就形成递推公式。
+现在还没有减少计算量，下面通过将分别计算的 奇项，偶项利用起来，只计算 前 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{n}{2}-1)项，后面的一半可以利用此结果马上算出来。每一次可以减少一半的计算量。
+
+对于 ![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{n}{2}\leq&space;i+\frac{n}{2}\leq&space;n-1)
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\begin{aligned}&space;F(\omega_{n}^{i+\frac{n}{2}})&=F_{even}(\omega_{n}^{2i+n})+\omega_{n}^{i+\frac{n}{2}}\cdot&space;F_{odd}(\omega_{n}^{2i+n})\\&space;&=F_{even}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})+\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}}\cdot&space;F_{odd}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i+\frac{n}{2}})\\&space;&&space;=F_{even}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i})-\omega_{\frac{n}{2}}^{i}\cdot&space;F_{odd}(\omega_{\frac{n}{2}}^{i})&space;\end{aligned}&space;)
+现在很清楚了，在每次计算 a[0..n-1] 的傅里叶变换F[0..n-1]，分别计算出奇 odd[0..n/2-1]，偶even[0..n/2-1]（可以递归地进行），
+那么傅里叶变换为：
+![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;F[i]&space;=&space;\begin{cases}&space;even[i]+&space;\omega^i&space;\cdot&space;odd[i],&space;\quad&space;i<\frac{n}{2}\\&space;even[i]-&space;\omega^i&space;\cdot&space;odd[i],&space;\quad&space;else&space;\end{cases}&space;)
+
+## 代码
+下面是 python 实现
+一维用 FFT 实现， 不过 只实现了 2 的幂。/ 对于非 2 的幂，用 FFT 实现有点困难，还需要插值，所以我 用![](https://latex.codecogs.com/gif.latex?O(n^2)) 直接实现。
+
+二维的 DFT利用 分离性，直接调用 一维 FFT。
+[GitHub](https://github.com/mbinary/algorithm)
+
+```python
+import numpy as np
+
+
+def _fft(a, invert=False):
+    N = len(a)
+    if N == 1:
+        return [a[0]]
+    elif N & (N - 1) == 0:  # O(nlogn),  2^k
+        even = _fft(a[::2], invert)
+        odd = _fft(a[1::2], invert)
+        i = 2j if invert else -2j
+        factor = np.exp(i * np.pi * np.arange(N // 2) / N)
+        prod = factor * odd
+        return np.concatenate([even + prod, even - prod])
+    else:  # O(n^2)
+        w = np.arange(N)
+        i = 2j if invert else -2j
+        m = w.reshape((N, 1)) * w
+        W = np.exp(m * i * np.pi / N)
+        return np.concatenate(np.dot(W, a.reshape(
+            (N, 1))))  # important, cannot use *
+
+
+def fft(a):
+    '''fourier[a]'''
+    n = len(a)
+    if n == 0:
+        raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
+    return _fft(a)
+
+
+def ifft(a):
+    '''invert fourier[a]'''
+    n = len(a)
+    if n == 0:
+        raise Exception("[Error]: Invalid length: 0")
+    return _fft(a, True) / n
+
+
+def fft2(arr):
+    return np.apply_along_axis(fft, 0,
+                               np.apply_along_axis(fft, 1, np.asarray(arr)))
+
+
+def ifft2(arr):
+    return np.apply_along_axis(ifft, 0,
+                               np.apply_along_axis(ifft, 1, np.asarray(arr)))
+
+
+def test(n=128):
+    print('\nsequence length:', n)
+    print('fft')
+    li = np.random.random(n)
+    print(np.allclose(fft(li), np.fft.fft(li)))
+
+    print('ifft')
+    li = np.random.random(n)
+    print(np.allclose(ifft(li), np.fft.ifft(li)))
+
+    print('fft2')
+    li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
+    print(np.allclose(fft2(li), np.fft.fft2(li)))
+
+    print('ifft2')
+    li = np.random.random(n * n).reshape((n, n))
+    print(np.allclose(ifft2(li), np.fft.ifft2(li)))
+
+
+if __name__ == '__main__':
+    for i in range(1, 3):
+        test(i * 16)
+```
+
+## 参考
+- [万寿红老师课件]()
+- [一小时学会快速傅里叶变换 Fast Fourier Transform](https://zhuanlan.zhihu.com/p/31584464)
+- [快速傅里叶变换（FFT）算法【详解】](https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6919424.html)
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