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update:(binary-set.md)：更新二进制集合操作 (#4285)
* 更新二进制集合操作 * Update binary-set.md * style: format markdown files with remark-lint * syntax error unintelligent bot * Update docs/math/binary-set.md Co-authored-by: Tifa <62847935+Tiphereth-A@users.noreply.github.com> * Update .remarkignore Co-authored-by: 24OI-bot <15963390+24OI-bot@users.noreply.github.com> Co-authored-by: aofall <aofall@users.noreply.github.com> Co-authored-by: Tifa <62847935+Tiphereth-A@users.noreply.github.com> Co-authored-by: Dejia Xu <dejia@utexas.edu>pull/4305/head
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95ef1f557d
commit
86fc82f4da
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@ -3,3 +3,4 @@ pas-cpp.md
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bit.md
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generator.md
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java-pro.md
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binary-set.md
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@ -0,0 +1,141 @@
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## 二进制集合操作
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一个数的二进制表示可以看作是一个集合（$0$ 表示不在集合中，$1$ 表示在集合中）。比如集合 $\{1,3,4,8\}$，可以表示成 $(100011010)_2$。而对应的位运算也就可以看作是对集合进行的操作。
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| 操作 | 集合表示 | 位运算语句 |
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| ------ | :-------------: | :-------------------------: |
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| 交集 | $a \cap b$ | `a & b` |
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| 并集 | $a \cup b$ | <code>a | b</code> |
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| 补集 | $\bar{a}$ | `~a` （全集为二进制都是 1） |
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| 差集 | $a \setminus b$ | `a & (~b)` |
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| 对称差 | $a\triangle b$ | `a ^ b` |
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在进一步介绍集合的子集遍历操作之前，先看位运算的有关应用例子。
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### 模 2 的幂
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一个数对 $2$ 的非负整数次幂取模，等价于取二进制下一个数的后若干位，等价于和 $mod-1$ 进行与操作。
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```cpp
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// C++ Version
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int modPowerOfTwo(int x, int mod) { return x & (mod - 1); }
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```
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```python
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# Python Version
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def modPowerOfTwo(x, mod):
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return x & (mod - 1)
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```
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于是可以知道，$2$ 的非负整数次幂对它本身取模，结果为 $0$，即如果 $n$ 是 $2$ 的非负整数次幂，$n$ 和 $n-1$ 的与操作结果为 $0$。
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事实上，对于一个正整数 $n$，$n-1$ 会将 $n$ 的最低 $1$ 位置零，并将后续位数全部置 $1$。因此，$n$ 和 $n-1$ 的与操作等价于删掉 $n$ 的最低 $1$ 位。
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借此可以判断一个数是不是 $2$ 的非负整数次幂。当且仅当 $n$ 的二进制表示只有一个 $1$ 时，$n$ 为 $2$ 的非负整数次幂。
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```cpp
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// C++ Version
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bool isPowerOfTwo(int n) { return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0; }
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```
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```python
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# Python Version
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def isPowerOfTwo(n):
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return n > 0 and (n & (n - 1)) == 0
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```
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### 子集遍历
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遍历一个二进制数表示的集合的全部子集，等价于枚举二进制数对应掩码的所有子掩码。
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掩码是一串二进制码，用于和源码进行与运算，得到屏蔽源码的若干输入位后的新操作数。
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掩码对于源码可以起到遮罩的作用，掩码中的 $1$ 位意味着源码的相应位得到保留，掩码中的 $0$ 位意味着源码的相应位进行置 $0$ 操作。将掩码的若干 $1$ 位改为 $0$ 位可以得到掩码的子掩码，掩码本身也是自己的子掩码。
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给定一个掩码 $m$，希望有效迭代 $m$ 的所有子掩码 $s$，可以考虑基于位运算技巧的实现。
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```cpp
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// 降序遍历 m 的非空子集
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int s = m;
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while (s > 0) {
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// s 是 m 的一个非空子集
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s = (s - 1) & m;
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}
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```
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或者使用更紧凑的 for 语句：
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```cpp
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// 降序遍历 m 的非空子集
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for (int s = m; s; s = (s - 1) & m)
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// s 是 m 的一个非空子集
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```
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这两段代码都不会处理等于 $0$ 的子掩码，要想处理等于 $0$ 的子掩码可以使用其他办法，例如：
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```cpp
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// 降序遍历 m 的子集
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for (int s = m;; s = (s - 1) & m) {
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// s 是 m 的一个子集
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if (s == 0) break;
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}
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```
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接下来证明，上面的代码访问了所有 $m$ 的子掩码，没有重复，并且按降序排列。
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假设有一个当前位掩码 $s$，并且想继续访问下一个位掩码。在掩码 $s$ 中减去 $1$，等价于删除掩码 $s$ 中最右边的设置位，并将其右边的所有位变为 $1$。
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为了使 $s-1$ 变为新的子掩码，需要删除掩码 $m$ 中未包含的所有额外的 $1$ 位，可以使用位运算 $(s-1)\&m$ 来进行此移除。
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这两步操作等价于切割掩码 $s-1$，以确定算术上可以取到的最大值，即按降序排列的 $s$ 之后的下一个子掩码。
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因此，该算法按降序生成该掩码的所有子掩码，每次迭代仅执行两个操作。
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特殊情况是 $s=0$。在执行 $s-1$ 之后得到 $-1$，其中所有位都为 $1$。在 $(s-1)\&m$ 操作之后将得到新的 $s$ 等于 $m$。因此，如果循环不以 $s=0$ 结束，算法的循环将无法终止。
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使用 $\text{popcount}(m)$ 表示 $m$ 二进制中 $1$ 的个数，用这种方法可以在 $O(2^{\text{popcount}(m)})$ 的时间复杂度内遍历集合 $m$ 的子集。
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### 遍历所有掩码的子掩码
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在使用掩码动态编程的问题中，有时会希望对于每个掩码，遍历掩码的所有子掩码：
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```cpp
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for (int m = 0; m < (1 << n); ++m)
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// 降序遍历 m 的非空子集
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for (int s = m; s; s = (s - 1) & m)
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// s 是 m 的一个非空子集
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```
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这样做可以遍历大小为 $n$ 的集合的每个子集的子集。
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接下来证明，该操作的时间复杂度为 $O(3^n)$，$n$ 为掩码总共的位数，即集合中元素的总数。
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考虑第 $i$ 位，即集合中第 $i$ 个元素，有三种情况：
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- 在掩码 $m$ 中为 $0$，因此在子掩码 $s$ 中为 $0$，即元素不在大小子集中。
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- 在 $m$ 中为 $1$，但在 $s$ 中为 $0$，即元素只在大子集中，不在小子集中。
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- 在 $m$ 和 $s$ 中均为 $1$，即元素同时在大小子集中。
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总共有 $n$ 位，因此有 $3^n$ 个不同的组合。
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还有一种证明方法是：
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如果掩码 $m$ 具有 $k$ 个 $1$，那么它有 $2^k$ 个子掩码。对于给定的 $k$，对应有 $C_n^k$ 个掩码 $m$，那么所有掩码的总数为：
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$$
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\sum_{k=0}^n C_n^k 2^n
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$$
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上面的和等于使用二项式定理对 $(1+2)^n$ 的展开，因此有 $3^n$ 个不同的组合。
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### 参考资料
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**本页面主要译自博文 [Перебор всех подмасок данной маски](http://e-maxx.ru/algo/all_submasks) 与其英文翻译版 [Submask Enumeration](https://cp-algorithms.com/algebra/all-submasks.html)。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。**
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### 习题
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- [Atcoder - Close Group](https://atcoder.jp/contests/abc187/tasks/abc187_f)
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- [Codeforces - Nuclear Fusion](http://codeforces.com/problemset/problem/71/E)
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- [Codeforces - Sandy and Nuts](http://codeforces.com/problemset/problem/599/E)
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- [Uva 1439 - Exclusive Access 2](https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4185)
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- [UVa 11825 - Hackers' Crackdown](https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2925)
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@ -125,32 +125,6 @@ def divPowerOfTwo(n, m): # 计算 n/(2^m)
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!!! warning
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我们平常写的除法是向 $0$ 取整，而这里的右移是向下取整（注意这里的区别），即当数大于等于 $0$ 时两种方法等价，当数小于 $0$ 时会有区别，如： `-1 / 2` 的值为 $0$ ，而 `-1 >> 1` 的值为 $-1$ 。
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判断一个数是不是 $2$ 的非负整数次幂：
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```cpp
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// C++ Version
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bool isPowerOfTwo(int n) { return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0; }
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```
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```python
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# Python Version
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def isPowerOfTwo(n):
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return n > 0 and (n & (n - 1)) == 0
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```
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对 $2$ 的非负整数次幂取模：
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```cpp
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// C++ Version
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int modPowerOfTwo(int x, int mod) { return x & (mod - 1); }
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```
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```python
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# Python Version
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def modPowerOfTwo(x, mod):
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return x & (mod - 1)
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```
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### 取绝对值
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在某些机器上，效率比 `n > 0 ? n : -n` 高。
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@ -290,29 +264,6 @@ def flapBit(a, b):
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这些操作相当于将一个 $32$ 位整型变量当作一个长度为 $32$ 的布尔数组。
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### 模拟集合操作
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一个数的二进制表示可以看作是一个集合（$0$ 表示不在集合中，$1$ 表示在集合中）。比如集合 $\{1,3,4,8\}$ ，可以表示成 $(100011010)_2$ 。而对应的位运算也就可以看作是对集合进行的操作。
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| 操作 | 集合表示 | 位运算语句 |
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| ------ | :-------------: | :-------------------------: |
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| 交集 | $a \cap b$ | `a & b` |
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| 并集 | $a \cup b$ | `a|b` |
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| 补集 | $\bar{a}$ | `~a` （全集为二进制都是 1） |
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| 差集 | $a \setminus b$ | `a & (~b)` |
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| 对称差 | $a\triangle b$ | `a ^ b` |
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子集遍历：
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```cpp
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// 遍历 u 的非空子集
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for (int s = u; s; s = (s - 1) & u) {
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// s 是 u 的一个非空子集
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}
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```
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用这种方法可以在 $O(2^{\text{popcount}(u)})$ （ $\text{popcount}(u)$ 表示 $u$ 二进制中 1 的个数）的时间复杂度内遍历 $u$ 的子集，进而可以在 $O(3^n)$ 的时间复杂度内遍历大小为 $n$ 的集合的每个子集的子集。（复杂度为 $O(3^n)$ 是因为每个元素都有 不在大子集中/只在大子集中/同时在大小子集中 三种状态。）
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## 汉明权重
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汉明权重是一串符号中不同于（定义在其所使用的字符集上的）零符号（zero-symbol）的个数。对于一个二进制数，它的汉明权重就等于它 $1$ 的个数（即 `popcount`）。
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@ -213,6 +213,7 @@ nav:
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- 符号: math/notation.md
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- 进位制: math/base.md
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- 位运算: math/bit.md
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- 二进制集合操作: math/binary-set.md
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- 平衡三进制: math/balanced-ternary.md
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- 高精度计算: math/bignum.md
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- 快速幂: math/binary-exponentiation.md
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