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# 10.1 斐波那契数列
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[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/c6c7742f5ba7442aada113136ddea0c3?tpId=13&tqId=11160&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)
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## 题目描述
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求斐波那契数列的第 n 项，n <= 39。
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<!--$$ f(n)=\left\{ \begin{array}{rcl} 0 && { n=0 }\\ 1 && { n=1 } \\ f(n-1)+f(n-2) && {n>1} \end{array} \right. $$ -->
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## 解题思路
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如果使用递归求解，会重复计算一些子问题。例如，计算 f(10) 需要计算 f(9) 和 f(8)，计算 f(9) 需要计算 f(8) 和 f(7)，可以看到 f(8) 被重复计算了。
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<img src="index_files/_u6590_u6CE2_u90A3_u5951_u6570_u5217.gif" width="400"/>
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递归是将一个问题划分成多个子问题求解，动态规划也是如此，但是动态规划会把子问题的解缓存起来，从而避免重复求解子问题。
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```java
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public int Fibonacci(int n) {
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if (n <= 1)
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return n;
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int[] fib = new int[n + 1];
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fib[1] = 1;
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for (int i = 2; i <= n; i++)
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fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
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return fib[n];
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}
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```
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考虑到第 i 项只与第 i-1 和第 i-2 项有关，因此只需要存储前两项的值就能求解第 i 项，从而将空间复杂度由 O(N) 降低为 O(1)。
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```java
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public int Fibonacci(int n) {
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if (n <= 1)
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return n;
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int pre2 = 0, pre1 = 1;
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int fib = 0;
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for (int i = 2; i <= n; i++) {
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fib = pre2 + pre1;
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pre2 = pre1;
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pre1 = fib;
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}
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return fib;
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}
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```
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由于待求解的 n 小于 40，因此可以将前 40 项的结果先进行计算，之后就能以 O(1) 时间复杂度得到第 n 项的值了。
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```java
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public class Solution {
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private int[] fib = new int[40];
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public Solution() {
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fib[1] = 1;
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fib[2] = 2;
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for (int i = 2; i < fib.length; i++)
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fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
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}
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public int Fibonacci(int n) {
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return fib[n];
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}
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}
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```
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# 10.2 矩形覆盖
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[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/72a5a919508a4251859fb2cfb987a0e6?tpId=13&tqId=11163&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)
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## 题目描述
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我们可以用 2\*1 的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用 n 个 2\*1 的小矩形无重叠地覆盖一个 2\*n 的大矩形，总共有多少种方法？
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## 解题思路
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```java
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public int RectCover(int n) {
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if (n <= 2)
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return n;
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int pre2 = 1, pre1 = 2;
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int result = 0;
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for (int i = 3; i <= n; i++) {
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result = pre2 + pre1;
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pre2 = pre1;
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pre1 = result;
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}
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return result;
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}
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```
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# 10.3 跳台阶
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[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/8c82a5b80378478f9484d87d1c5f12a4?tpId=13&tqId=11161&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)
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## 题目描述
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一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
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## 解题思路
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```java
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public int JumpFloor(int n) {
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if (n <= 2)
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return n;
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int pre2 = 1, pre1 = 2;
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int result = 1;
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for (int i = 2; i < n; i++) {
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result = pre2 + pre1;
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pre2 = pre1;
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pre1 = result;
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}
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return result;
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}
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```
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# 10.4 变态跳台阶
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[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/22243d016f6b47f2a6928b4313c85387?tpId=13&tqId=11162&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)
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## 题目描述
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一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级... 它也可以跳上 n 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
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## 解题思路
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### 动态规划
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```java
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public int JumpFloorII(int target) {
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int[] dp = new int[target];
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Arrays.fill(dp, 1);
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for (int i = 1; i < target; i++)
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for (int j = 0; j < i; j++)
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dp[i] += dp[j];
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return dp[target - 1];
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}
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```
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### 数学推导
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跳上 n-1 级台阶，可以从 n-2 级跳 1 级上去，也可以从 n-3 级跳 2 级上去...，那么
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```
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f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ... + f(0)
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```
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同样，跳上 n 级台阶，可以从 n-1 级跳 1 级上去，也可以从 n-2 级跳 2 级上去... ，那么
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```
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f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(0)
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```
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综上可得
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```
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f(n) - f(n-1) = f(n-1)
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```
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即
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```
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f(n) = 2*f(n-1)
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```
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所以 f(n) 是一个等比数列
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```source-java
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public int JumpFloorII(int target) {
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return (int) Math.pow(2, target - 1);
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}
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```
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# 11. 旋转数组的最小数字
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[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/9f3231a991af4f55b95579b44b7a01ba?tpId=13&tqId=11159&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)
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## 题目描述
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把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个非递减排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。
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例如数组 {3, 4, 5, 1, 2} 为 {1, 2, 3, 4, 5} 的一个旋转，该数组的最小值为 1。
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## 解题思路
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在一个有序数组中查找一个元素可以用二分查找，二分查找也称为折半查找，每次都能将查找区间减半，这种折半特性的算法时间复杂度都为 O(logN)。
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本题可以修改二分查找算法进行求解：
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- 当 nums[m] <= nums[h] 的情况下，说明解在 [l, m] 之间，此时令 h = m；
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- 否则解在 [m + 1, h] 之间，令 l = m + 1。
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```java
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public int minNumberInRotateArray(int[] nums) {
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if (nums.length == 0)
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return 0;
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int l = 0, h = nums.length - 1;
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (nums[m] <= nums[h])
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h = m;
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else
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l = m + 1;
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}
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return nums[l];
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}
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```
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如果数组元素允许重复的话，那么就会出现一个特殊的情况：nums[l] == nums[m] == nums[h]，那么此时无法确定解在哪个区间，需要切换到顺序查找。例如对于数组 {1,1,1,0,1}，l、m 和 h 指向的数都为 1，此时无法知道最小数字 0 在哪个区间。
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```java
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public int minNumberInRotateArray(int[] nums) {
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if (nums.length == 0)
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return 0;
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int l = 0, h = nums.length - 1;
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (nums[l] == nums[m] && nums[m] == nums[h])
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return minNumber(nums, l, h);
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else if (nums[m] <= nums[h])
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h = m;
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else
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l = m + 1;
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}
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return nums[l];
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}
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private int minNumber(int[] nums, int l, int h) {
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for (int i = l; i < h; i++)
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if (nums[i] > nums[i + 1])
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return nums[i + 1];
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return nums[l];
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}
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```
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# 12. 矩阵中的路径
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[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/c61c6999eecb4b8f88a98f66b273a3cc?tpId=13&tqId=11218&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)
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## 题目描述
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请设计一个函数，用来判断在一个矩阵中是否存在一条包含某字符串所有字符的路径。路径可以从矩阵中的任意一个格子开始，每一步可以在矩阵中向左，向右，向上，向下移动一个格子。如果一条路径经过了矩阵中的某一个格子，则该路径不能再进入该格子。
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例如下面的矩阵包含了一条 bfce 路径。
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## 解题思路
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```java
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private final static int[][] next = {{0, -1}, {0, 1}, {-1, 0}, {1, 0}};
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private int rows;
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private int cols;
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public boolean hasPath(char[] array, int rows, int cols, char[] str) {
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if (rows == 0 || cols == 0)
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return false;
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this.rows = rows;
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this.cols = cols;
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boolean[][] marked = new boolean[rows][cols];
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char[][] matrix = buildMatrix(array);
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for (int i = 0; i < rows; i++)
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for (int j = 0; j < cols; j++)
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if (backtracking(matrix, str, marked, 0, i, j))
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return true;
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return false;
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}
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private boolean backtracking(char[][] matrix, char[] str, boolean[][] marked, int pathLen, int r, int c) {
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if (pathLen == str.length)
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return true;
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if (r < 0 || r >= rows || c < 0 || c >= cols || matrix[r][c] != str[pathLen] || marked[r][c])
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return false;
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marked[r][c] = true;
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for (int[] n : next)
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if (backtracking(matrix, str, marked, pathLen + 1, r + n[0], c + n[1]))
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return true;
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marked[r][c] = false;
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return false;
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}
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private char[][] buildMatrix(char[] array) {
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||
char[][] matrix = new char[rows][cols];
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for (int i = 0, idx = 0; i < rows; i++)
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for (int j = 0; j < cols; j++)
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matrix[i][j] = array[idx++];
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return matrix;
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}
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```
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# 13. 机器人的运动范围
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[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/6e5207314b5241fb83f2329e89fdecc8?tpId=13&tqId=11219&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)
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## 题目描述
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地上有一个 m 行和 n 列的方格。一个机器人从坐标 (0, 0) 的格子开始移动，每一次只能向左右上下四个方向移动一格，但是不能进入行坐标和列坐标的数位之和大于 k 的格子。
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例如，当 k 为 18 时，机器人能够进入方格 (35,37)，因为 3+5+3+7=18。但是，它不能进入方格 (35,38)，因为 3+5+3+8=19。请问该机器人能够达到多少个格子？
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## 解题思路
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```java
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private static final int[][] next = {{0, -1}, {0, 1}, {-1, 0}, {1, 0}};
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private int cnt = 0;
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private int rows;
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private int cols;
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private int threshold;
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private int[][] digitSum;
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public int movingCount(int threshold, int rows, int cols) {
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this.rows = rows;
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this.cols = cols;
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||
this.threshold = threshold;
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||
initDigitSum();
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boolean[][] marked = new boolean[rows][cols];
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||
dfs(marked, 0, 0);
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return cnt;
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}
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private void dfs(boolean[][] marked, int r, int c) {
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if (r < 0 || r >= rows || c < 0 || c >= cols || marked[r][c])
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return;
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marked[r][c] = true;
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||
if (this.digitSum[r][c] > this.threshold)
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return;
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cnt++;
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for (int[] n : next)
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dfs(marked, r + n[0], c + n[1]);
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||
}
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||
private void initDigitSum() {
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int[] digitSumOne = new int[Math.max(rows, cols)];
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||
for (int i = 0; i < digitSumOne.length; i++) {
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int n = i;
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while (n > 0) {
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digitSumOne[i] += n % 10;
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n /= 10;
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}
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}
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||
this.digitSum = new int[rows][cols];
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||
for (int i = 0; i < this.rows; i++)
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||
for (int j = 0; j < this.cols; j++)
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||
this.digitSum[i][j] = digitSumOne[i] + digitSumOne[j];
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||
}
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```
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# 14. 剪绳子
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[Leetcode](https://leetcode.com/problems/integer-break/description/)
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## 题目描述
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把一根绳子剪成多段，并且使得每段的长度乘积最大。
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```html
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n = 2
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return 1 (2 = 1 + 1)
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n = 10
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return 36 (10 = 3 + 3 + 4)
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```
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## 解题思路
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### 贪心
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尽可能多剪长度为 3 的绳子，并且不允许有长度为 1 的绳子出现。如果出现了，就从已经切好长度为 3 的绳子中拿出一段与长度为 1 的绳子重新组合，把它们切成两段长度为 2 的绳子。
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||
证明：当 n >= 5 时，3(n - 3) - n = 2n - 9 > 0，且 2(n - 2) - n = n - 4 > 0。因此在 n >= 5 的情况下，将绳子剪成一段为 2 或者 3，得到的乘积会更大。又因为 3(n - 3) - 2(n - 2) = n - 5 >= 0，所以剪成一段长度为 3 比长度为 2 得到的乘积更大。
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||
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||
```java
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public int integerBreak(int n) {
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||
if (n < 2)
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||
return 0;
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||
if (n == 2)
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||
return 1;
|
||
if (n == 3)
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||
return 2;
|
||
int timesOf3 = n / 3;
|
||
if (n - timesOf3 * 3 == 1)
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||
timesOf3--;
|
||
int timesOf2 = (n - timesOf3 * 3) / 2;
|
||
return (int) (Math.pow(3, timesOf3)) * (int) (Math.pow(2, timesOf2));
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||
}
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||
```
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||
### 动态规划
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```java
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public int integerBreak(int n) {
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||
int[] dp = new int[n + 1];
|
||
dp[1] = 1;
|
||
for (int i = 2; i <= n; i++)
|
||
for (int j = 1; j < i; j++)
|
||
dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), dp[j] * (i - j)));
|
||
return dp[n];
|
||
}
|
||
```
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# 15. 二进制中 1 的个数
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||
[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/8ee967e43c2c4ec193b040ea7fbb10b8?tpId=13&tqId=11164&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)
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## 题目描述
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输入一个整数，输出该数二进制表示中 1 的个数。
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### n&(n-1)
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该位运算去除 n 的位级表示中最低的那一位。
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||
```
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n : 10110100
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||
n-1 : 10110011
|
||
n&(n-1) : 10110000
|
||
```
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||
时间复杂度：O(M)，其中 M 表示 1 的个数。
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```java
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public int NumberOf1(int n) {
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||
int cnt = 0;
|
||
while (n != 0) {
|
||
cnt++;
|
||
n &= (n - 1);
|
||
}
|
||
return cnt;
|
||
}
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||
```
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||
### Integer.bitCount()
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||
```java
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||
public int NumberOf1(int n) {
|
||
return Integer.bitCount(n);
|
||
}
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||
```
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||
# 16. 数值的整数次方
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||
[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/1a834e5e3e1a4b7ba251417554e07c00?tpId=13&tqId=11165&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)
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||
## 题目描述
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给定一个 double 类型的浮点数 base 和 int 类型的整数 exponent，求 base 的 exponent 次方。
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## 解题思路
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下面的讨论中 x 代表 base，n 代表 exponent。
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<!--$$ x^n=\left\{ \begin{array}{rcl} (x*x)^{n/2} && { n\%2=0}\\ x*(x*x)^{n/2} && { n\%2=1 } \end{array} \right. $$-->
|
||
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||
因为 (x\*x)<sup>n/2</sup> 可以通过递归求解，并且每次递归 n 都减小一半，因此整个算法的时间复杂度为 O(logN)。
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```java
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||
public double Power(double base, int exponent) {
|
||
if (exponent == 0)
|
||
return 1;
|
||
if (exponent == 1)
|
||
return base;
|
||
boolean isNegative = false;
|
||
if (exponent < 0) {
|
||
exponent = -exponent;
|
||
isNegative = true;
|
||
}
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double pow = Power(base * base, exponent / 2);
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if (exponent % 2 != 0)
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pow = pow * base;
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return isNegative ? 1 / pow : pow;
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}
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# 17. 打印从 1 到最大的 n 位数
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## 题目描述
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输入数字 n，按顺序打印出从 1 到最大的 n 位十进制数。比如输入 3，则打印出 1、2、3 一直到最大的 3 位数即 999。
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## 解题思路
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由于 n 可能会非常大，因此不能直接用 int 表示数字，而是用 char 数组进行存储。
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使用回溯法得到所有的数。
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```java
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public void print1ToMaxOfNDigits(int n) {
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if (n <= 0)
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return;
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char[] number = new char[n];
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print1ToMaxOfNDigits(number, 0);
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}
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private void print1ToMaxOfNDigits(char[] number, int digit) {
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if (digit == number.length) {
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printNumber(number);
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return;
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}
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for (int i = 0; i < 10; i++) {
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number[digit] = (char) (i + '0');
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print1ToMaxOfNDigits(number, digit + 1);
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}
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}
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private void printNumber(char[] number) {
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int index = 0;
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while (index < number.length && number[index] == '0')
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index++;
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while (index < number.length)
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System.out.print(number[index++]);
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System.out.println();
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}
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```
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# 18.1 在 O(1) 时间内删除链表节点
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## 解题思路
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① 如果该节点不是尾节点，那么可以直接将下一个节点的值赋给该节点，然后令该节点指向下下个节点，再删除下一个节点，时间复杂度为 O(1)。
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<img src="index_files/27ff9548-edb6-4465-92c8-7e6386e0b185.png" width="600"/>
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② 如果链表只有一个节点，那么直接
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② 否则，就需要先遍历链表，找到节点的前一个节点，然后让前一个节点指向 null，时间复杂度为 O(N)。
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<img src="index_files/280f7728-594f-4811-a03a-fa8d32c013da.png" width="600"/>
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综上，如果进行 N 次操作，那么大约需要操作节点的次数为 N-1+N=2N-1，其中 N-1 表示 N-1 个不是尾节点的每个节点以 O(1) 的时间复杂度操作节点的总次数，N 表示 1 个尾节点以 O(N) 的时间复杂度操作节点的总次数。(2N-1)/N ~ 2，因此该算法的平均时间复杂度为 O(1)。
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```java
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public ListNode deleteNode(ListNode head, ListNode tobeDelete) {
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if (head == null || tobeDelete == null)
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return null;
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if (tobeDelete.next != null) {
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// 要删除的节点不是尾节点
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ListNode next = tobeDelete.next;
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tobeDelete.val = next.val;
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tobeDelete.next = next.next;
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} else {
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if (head == tobeDelete)
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// 只有一个节点
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head = null;
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else {
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ListNode cur = head;
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while (cur.next != tobeDelete)
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cur = cur.next;
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cur.next = null;
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}
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}
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return head;
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}
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```
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# 18.2 删除链表中重复的结点
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[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/fc533c45b73a41b0b44ccba763f866ef?tpId=13&tqId=11209&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)
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## 题目描述
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<img src="index_files/8433fbb2-c35c-45ef-831d-e3ca42aebd51.png" width="500"/>
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## 解题描述
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```java
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public ListNode deleteDuplication(ListNode pHead) {
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if (pHead == null || pHead.next == null)
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return pHead;
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ListNode next = pHead.next;
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if (pHead.val == next.val) {
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while (next != null && pHead.val == next.val)
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next = next.next;
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return deleteDuplication(next);
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} else {
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pHead.next = deleteDuplication(pHead.next);
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return pHead;
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}
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}
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```
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# 19. 正则表达式匹配
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[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/45327ae22b7b413ea21df13ee7d6429c?tpId=13&tqId=11205&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)
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## 题目描述
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请实现一个函数用来匹配包括 '.' 和 '\*' 的正则表达式。模式中的字符 '.' 表示任意一个字符，而 '\*' 表示它前面的字符可以出现任意次（包含 0 次）。
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在本题中，匹配是指字符串的所有字符匹配整个模式。例如，字符串 "aaa" 与模式 "a.a" 和 "ab\*ac\*a" 匹配，但是与 "aa.a" 和 "ab\*a" 均不匹配。
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## 解题思路
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应该注意到，'.' 是用来当做一个任意字符，而 '\*' 是用来重复前面的字符。这两个的作用不同，不能把 '.' 的作用和 '\*' 进行类比，从而把它当成重复前面字符一次。
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```java
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public boolean match(char[] str, char[] pattern) {
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int m = str.length, n = pattern.length;
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boolean[][] dp = new boolean[m + 1][n + 1];
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dp[0][0] = true;
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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if (pattern[i - 1] == '*')
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dp[0][i] = dp[0][i - 2];
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for (int i = 1; i <= m; i++)
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for (int j = 1; j <= n; j++)
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if (str[i - 1] == pattern[j - 1] || pattern[j - 1] == '.')
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dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
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else if (pattern[j - 1] == '*')
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if (pattern[j - 2] == str[i - 1] || pattern[j - 2] == '.') {
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dp[i][j] |= dp[i][j - 1]; // a* counts as single a
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dp[i][j] |= dp[i - 1][j]; // a* counts as multiple a
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dp[i][j] |= dp[i][j - 2]; // a* counts as empty
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} else
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dp[i][j] = dp[i][j - 2]; // a* only counts as empty
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return dp[m][n];
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}
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```
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---bottom---CyC---
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