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CyC2018
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c3ee062a20
commit
e04b54ee47
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@ -1,6 +1,5 @@
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<!-- GFM-TOC -->
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* [算法思想](#算法思想)
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* [二分查找](#二分查找)
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* [贪心思想](#贪心思想)
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* [双指针](#双指针)
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* [排序](#排序)
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@ -12,6 +11,7 @@
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* [BFS](#bfs)
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* [DFS](#dfs)
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* [Backtracking](#backtracking)
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* [二分查找](#二分查找)
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* [分治](#分治)
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* [动态规划](#动态规划)
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* [斐波那契数列](#斐波那契数列)
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@ -55,272 +55,6 @@
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# 算法思想
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## 二分查找
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**正常实现**
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```java
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public int binarySearch(int[] nums, int key) {
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int l = 0, h = nums.length - 1;
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while (l <= h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (nums[m] == key)
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return m;
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else if (nums[m] > key)
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h = m - 1;
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||||
else
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l = m + 1;
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}
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return -1;
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}
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```
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**时间复杂度**
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O(logN)
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**计算 mid**
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有两种计算 mid 的方式：
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- mid = (l + h) / 2
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- mid = l + (h - l) / 2
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l + h 可能出现加法溢出，最好使用第二种方式。
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**返回值**
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循环退出时如果仍然没有查找到 key，那么表示查找失败。可以有两种返回值：
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- -1：以一个错误码指示没有查找到 key
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- l：将 key 插入到 nums 中的正确位置
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**变种**
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二分查找可以有很多变种，变种实现要多注意边界值的判断。例如在一个有重复元素的数组中查找 key 的最左位置的实现如下：
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```java
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public int binarySearch(int[] nums, int key) {
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||||
int l = 0, h = nums.length - 1;
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (nums[m] >= key)
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h = m;
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else
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l = m + 1;
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}
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return l;
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}
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```
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该实现和正常实现有以下不同：
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- 循环条件为 l < h
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- h 的赋值表达式为 h = m
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- 最后返回 l 而不是 -1
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||||
在 nums[m] >= key 的情况下，可以推导出最左 key 位于 [l, m] 区间中，这是一个闭区间。h 的赋值表达式为 h = m，因为 m 位置也可能是解。
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||||
在 h 的赋值表达式为 h = mid 的情况下，如果循环条件为 l <= h，那么会出现循环无法退出的情况，因此循环条件只能是 l < h。
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```text
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nums = {0, 1}, key = 0
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l m h
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0 1 2 nums[m] >= key
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||||
0 0 1 nums[m] >= key
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0 0 0 nums[m] >= key
|
||||
0 0 0 nums[m] >= key
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...
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```
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||||
当循环体退出时，不表示没有查找到 key，因此最后返回的结果不应该为 -1。为了验证有没有查找到，需要在调用端判断一下返回位置上的值和 key 是否相等。
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**求开方**
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[69. Sqrt(x) (Easy)](https://leetcode.com/problems/sqrtx/description/)
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```html
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Input: 4
|
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Output: 2
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Input: 8
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Output: 2
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Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since we want to return an integer, the decimal part will be truncated.
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```
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一个数 x 的开方 sqrt 一定在 0 \~ x 之间，并且满足 sqrt == x / sqrt。可以利用二分查找在 0 \~ x 之间查找 sqrt。
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对于 x = 8，它的开方是 2.82842...，最后应该返回 2 而不是 3。在循环条件为 l <= h 并且循环退出时，h 总是比 l 小 1，也就是说 h = 2，l = 3，因此最后的返回值应该为 h 而不是 l。
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```java
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public int mySqrt(int x) {
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||||
if (x <= 1)
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||||
return x;
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||||
int l = 1, h = x;
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||||
while (l <= h) {
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||||
int mid = l + (h - l) / 2;
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||||
int sqrt = x / mid;
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||||
if (sqrt == mid)
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return mid;
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||||
else if (sqrt < mid)
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||||
h = mid - 1;
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else
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||||
l = mid + 1;
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}
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||||
return h;
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}
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```
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||||
**大于给定元素的最小元素**
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[744. Find Smallest Letter Greater Than Target (Easy)](https://leetcode.com/problems/find-smallest-letter-greater-than-target/description/)
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```html
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||||
Input:
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||||
letters = ["c", "f", "j"]
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||||
target = "d"
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Output: "f"
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||||
Input:
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||||
letters = ["c", "f", "j"]
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||||
target = "k"
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||||
Output: "c"
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```
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题目描述：给定一个有序的字符数组 letters 和一个字符 target，要求找出 letters 中大于 target 的最小字符。letters 字符数组是循环数组。
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应该注意最后返回的是 l 位置的字符。
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||||
```java
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||||
public char nextGreatestLetter(char[] letters, char target) {
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||||
int n = letters.length;
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||||
int l = 0, h = n - 1;
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||||
while (l <= h) {
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||||
int m = l + (h - l) / 2;
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||||
if (letters[m] <= target)
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||||
l = m + 1;
|
||||
else
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||||
h = m - 1;
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||||
}
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||||
return l < n ? letters[l] : letters[0];
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||||
}
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```
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||||
**有序数组的 Single Element**
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||||
[540. Single Element in a Sorted Array (Medium)](https://leetcode.com/problems/single-element-in-a-sorted-array/description/)
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```html
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Input: [1,1,2,3,3,4,4,8,8]
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||||
Output: 2
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```
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||||
题目描述：一个有序数组只有一个数不出现两次，找出这个数。要求以 O(logN) 时间复杂度进行求解。
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令 key 为 Single Element 在数组中的位置。如果 m 为偶数，并且 m + 1 < key，那么 nums[m] == nums[m + 1]；m + 1 >= key，那么 nums[m] != nums[m + 1]。
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||||
从上面的规律可以知道，如果 nums[m] == nums[m + 1]，那么 key 所在的数组位置为 [m + 2, h]，此时令 l = m + 2；如果 nums[m] != nums[m + 1]，那么 key 所在的数组位置为 [l, m]，此时令 h = m。
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||||
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||||
因为 h 的赋值表达式为 h = m，那么循环条件也就只能使用 l < h 这种形式。
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```java
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||||
public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
|
||||
int l = 0, h = nums.length - 1;
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||||
while (l < h) {
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||||
int m = l + (h - l) / 2;
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||||
if (m % 2 == 1)
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||||
m--; // 保证 l/h/m 都在偶数位，使得查找区间大小一直都是奇数
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||||
if (nums[m] == nums[m + 1])
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||||
l = m + 2;
|
||||
else
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||||
h = m;
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}
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||||
return nums[l];
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}
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```
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**第一个错误的版本**
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[278. First Bad Version (Easy)](https://leetcode.com/problems/first-bad-version/description/)
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题目描述：给定一个元素 n 代表有 [1, 2, ..., n] 版本，可以调用 isBadVersion(int x) 知道某个版本是否错误，要求找到第一个错误的版本。
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如果第 m 个版本出错，则表示第一个错误的版本在 [l, m] 之间，令 h = m；否则第一个错误的版本在 [m + 1, h] 之间，令 l = m + 1。
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||||
因为 h 的赋值表达式为 h = m，因此循环条件为 l < h。
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```java
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||||
public int firstBadVersion(int n) {
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||||
int l = 1, h = n;
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||||
while (l < h) {
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||||
int mid = l + (h - l) / 2;
|
||||
if (isBadVersion(mid))
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||||
h = mid;
|
||||
else
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||||
l = mid + 1;
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}
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return l;
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}
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```
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||||
**旋转数组的最小数字**
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[153. Find Minimum in Rotated Sorted Array (Medium)](https://leetcode.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/description/)
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```html
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Input: [3,4,5,1,2],
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Output: 1
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```
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||||
```java
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||||
public int findMin(int[] nums) {
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||||
int l = 0, h = nums.length - 1;
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||||
while (l < h) {
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||||
int m = l + (h - l) / 2;
|
||||
if (nums[m] <= nums[h])
|
||||
h = m;
|
||||
else
|
||||
l = m + 1;
|
||||
}
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||||
return nums[l];
|
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}
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```
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**查找区间**
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[34. Search for a Range (Medium)](https://leetcode.com/problems/search-for-a-range/description/)
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```html
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Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
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Output: [3,4]
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Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
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Output: [-1,-1]
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```
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||||
```java
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||||
public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
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||||
int first = binarySearch(nums, target);
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||||
int last = binarySearch(nums, target + 1) - 1;
|
||||
if (first == nums.length || nums[first] != target)
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||||
return new int[]{-1, -1};
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||||
else
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||||
return new int[]{first, Math.max(first, last)};
|
||||
}
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||||
private int binarySearch(int[] nums, int target) {
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||||
int l = 0, h = nums.length; // 注意 h 的初始值
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||||
while (l < h) {
|
||||
int m = l + (h - l) / 2;
|
||||
if (nums[m] >= target)
|
||||
h = m;
|
||||
else
|
||||
l = m + 1;
|
||||
}
|
||||
return l;
|
||||
}
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```
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||||
## 贪心思想
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||||
贪心思想保证每次操作都是局部最优的，并且最后得到的结果是全局最优的。
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@ -2263,6 +1997,274 @@ private void backtracking(int row) {
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}
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```
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## 二分查找
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（一）正常实现
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```java
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||||
public int binarySearch(int[] nums, int key) {
|
||||
int l = 0, h = nums.length - 1;
|
||||
while (l <= h) {
|
||||
int m = l + (h - l) / 2;
|
||||
if (nums[m] == key) {
|
||||
return m;
|
||||
} else if (nums[m] > key) {
|
||||
h = m - 1;
|
||||
} else {
|
||||
l = m + 1;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return -1;
|
||||
}
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```
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（二）时间复杂度
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O(logN)
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（三）m 计算
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有两种计算 m 的方式：
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||||
- m = (l + h) / 2
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||||
- m = l + (h - l) / 2
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||||
l + h 可能出现加法溢出，最好使用第二种方式。
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||||
（四）返回值
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循环退出时如果仍然没有查找到 key，那么表示查找失败。可以有两种返回值：
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- -1：以一个错误码表示没有查找到 key
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- l：将 key 插入到 nums 中的正确位置
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（五）变种
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|
||||
二分查找可以有很多变种，变种实现要注意边界值的判断。例如在一个有重复元素的数组中查找 key 的最左位置的实现如下：
|
||||
|
||||
```java
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||||
public int binarySearch(int[] nums, int key) {
|
||||
int l = 0, h = nums.length - 1;
|
||||
while (l < h) {
|
||||
int m = l + (h - l) / 2;
|
||||
if (nums[m] >= key) {
|
||||
h = m;
|
||||
} else {
|
||||
l = m + 1;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return l;
|
||||
}
|
||||
```
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||||
|
||||
该实现和正常实现有以下不同：
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||||
|
||||
- 循环条件为 l < h
|
||||
- h 的赋值表达式为 h = m
|
||||
- 最后返回 l 而不是 -1
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||||
|
||||
在 nums[m] >= key 的情况下，可以推导出最左 key 位于 [l, m] 区间中，这是一个闭区间。h 的赋值表达式为 h = m，因为 m 位置也可能是解。
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||||
|
||||
在 h 的赋值表达式为 h = mid 的情况下，如果循环条件为 l <= h，那么会出现循环无法退出的情况，因此循环条件只能是 l < h。以下演示了循环条件为 l<=h 循环无法退出的情况。
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||||
|
||||
```text
|
||||
nums = {0, 1, 2}, key = 1
|
||||
l m h
|
||||
0 1 2 nums[m] >= key
|
||||
0 0 1 nums[m] < key
|
||||
1 1 1 nums[m] >= key
|
||||
1 1 1 nums[m] >= key
|
||||
...
|
||||
```
|
||||
|
||||
当循环体退出时，不表示没有查找到 key，因此最后返回的结果不应该为 -1。为了验证有没有查找到，需要在调用端判断一下返回位置上的值和 key 是否相等。
|
||||
|
||||
**求开方**
|
||||
|
||||
[69. Sqrt(x) (Easy)](https://leetcode.com/problems/sqrtx/description/)
|
||||
|
||||
```html
|
||||
Input: 4
|
||||
Output: 2
|
||||
|
||||
Input: 8
|
||||
Output: 2
|
||||
Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since we want to return an integer, the decimal part will be truncated.
|
||||
```
|
||||
|
||||
一个数 x 的开方 sqrt 一定在 0 \~ x 之间，并且满足 sqrt == x / sqrt。可以利用二分查找在 0 \~ x 之间查找 sqrt。
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||||
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||||
对于 x = 8，它的开方是 2.82842...，最后应该返回 2 而不是 3。在循环条件为 l <= h 并且循环退出时，h 总是比 l 小 1，也就是说 h = 2，l = 3，因此最后的返回值应该为 h 而不是 l。
|
||||
|
||||
```java
|
||||
public int mySqrt(int x) {
|
||||
if (x <= 1)
|
||||
return x;
|
||||
int l = 1, h = x;
|
||||
while (l <= h) {
|
||||
int mid = l + (h - l) / 2;
|
||||
int sqrt = x / mid;
|
||||
if (sqrt == mid)
|
||||
return mid;
|
||||
else if (sqrt < mid)
|
||||
h = mid - 1;
|
||||
else
|
||||
l = mid + 1;
|
||||
}
|
||||
return h;
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
**大于给定元素的最小元素**
|
||||
|
||||
[744. Find Smallest Letter Greater Than Target (Easy)](https://leetcode.com/problems/find-smallest-letter-greater-than-target/description/)
|
||||
|
||||
```html
|
||||
Input:
|
||||
letters = ["c", "f", "j"]
|
||||
target = "d"
|
||||
Output: "f"
|
||||
|
||||
Input:
|
||||
letters = ["c", "f", "j"]
|
||||
target = "k"
|
||||
Output: "c"
|
||||
```
|
||||
|
||||
题目描述：给定一个有序的字符数组 letters 和一个字符 target，要求找出 letters 中大于 target 的最小字符。letters 字符数组是循环数组。
|
||||
|
||||
应该注意最后返回的是 l 位置的字符。
|
||||
|
||||
```java
|
||||
public char nextGreatestLetter(char[] letters, char target) {
|
||||
int n = letters.length;
|
||||
int l = 0, h = n - 1;
|
||||
while (l <= h) {
|
||||
int m = l + (h - l) / 2;
|
||||
if (letters[m] <= target)
|
||||
l = m + 1;
|
||||
else
|
||||
h = m - 1;
|
||||
}
|
||||
return l < n ? letters[l] : letters[0];
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
**有序数组的 Single Element**
|
||||
|
||||
[540. Single Element in a Sorted Array (Medium)](https://leetcode.com/problems/single-element-in-a-sorted-array/description/)
|
||||
|
||||
```html
|
||||
Input: [1,1,2,3,3,4,4,8,8]
|
||||
Output: 2
|
||||
```
|
||||
|
||||
题目描述：一个有序数组只有一个数不出现两次，找出这个数。要求以 O(logN) 时间复杂度进行求解。
|
||||
|
||||
令 key 为 Single Element 在数组中的位置。如果 m 为偶数，并且 m + 1 < key，那么 nums[m] == nums[m + 1]；m + 1 >= key，那么 nums[m] != nums[m + 1]。
|
||||
|
||||
从上面的规律可以知道，如果 nums[m] == nums[m + 1]，那么 key 所在的数组位置为 [m + 2, h]，此时令 l = m + 2；如果 nums[m] != nums[m + 1]，那么 key 所在的数组位置为 [l, m]，此时令 h = m。
|
||||
|
||||
因为 h 的赋值表达式为 h = m，那么循环条件也就只能使用 l < h 这种形式。
|
||||
|
||||
```java
|
||||
public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
|
||||
int l = 0, h = nums.length - 1;
|
||||
while (l < h) {
|
||||
int m = l + (h - l) / 2;
|
||||
if (m % 2 == 1)
|
||||
m--; // 保证 l/h/m 都在偶数位，使得查找区间大小一直都是奇数
|
||||
if (nums[m] == nums[m + 1])
|
||||
l = m + 2;
|
||||
else
|
||||
h = m;
|
||||
}
|
||||
return nums[l];
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
|
||||
**第一个错误的版本**
|
||||
|
||||
[278. First Bad Version (Easy)](https://leetcode.com/problems/first-bad-version/description/)
|
||||
|
||||
题目描述：给定一个元素 n 代表有 [1, 2, ..., n] 版本，可以调用 isBadVersion(int x) 知道某个版本是否错误，要求找到第一个错误的版本。
|
||||
|
||||
如果第 m 个版本出错，则表示第一个错误的版本在 [l, m] 之间，令 h = m；否则第一个错误的版本在 [m + 1, h] 之间，令 l = m + 1。
|
||||
|
||||
因为 h 的赋值表达式为 h = m，因此循环条件为 l < h。
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```java
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public int firstBadVersion(int n) {
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int l = 1, h = n;
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while (l < h) {
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int mid = l + (h - l) / 2;
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if (isBadVersion(mid))
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||||
h = mid;
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||||
else
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||||
l = mid + 1;
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}
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return l;
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}
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```
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**旋转数组的最小数字**
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[153. Find Minimum in Rotated Sorted Array (Medium)](https://leetcode.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/description/)
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```html
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Input: [3,4,5,1,2],
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Output: 1
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```
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```java
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public int findMin(int[] nums) {
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int l = 0, h = nums.length - 1;
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||||
while (l < h) {
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||||
int m = l + (h - l) / 2;
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||||
if (nums[m] <= nums[h])
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||||
h = m;
|
||||
else
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||||
l = m + 1;
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}
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||||
return nums[l];
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}
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```
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**查找区间**
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[34. Search for a Range (Medium)](https://leetcode.com/problems/search-for-a-range/description/)
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```html
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Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
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Output: [3,4]
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Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
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Output: [-1,-1]
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```
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```java
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public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
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||||
int first = binarySearch(nums, target);
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||||
int last = binarySearch(nums, target + 1) - 1;
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||||
if (first == nums.length || nums[first] != target)
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return new int[]{-1, -1};
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||||
else
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||||
return new int[]{first, Math.max(first, last)};
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}
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private int binarySearch(int[] nums, int target) {
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int l = 0, h = nums.length; // 注意 h 的初始值
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||||
while (l < h) {
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||||
int m = l + (h - l) / 2;
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||||
if (nums[m] >= target)
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||||
h = m;
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||||
else
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||||
l = m + 1;
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}
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||||
return l;
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}
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```
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## 分治
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**给表达式加括号**
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