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notes/算法.md

@@ -28,6 +28,7 @@
     * [红黑二叉查找树](#红黑二叉查找树)
     * [散列表](#散列表)
     * [应用](#应用)
+* [参考资料](#参考资料)
 <!-- GFM-TOC -->
 
 
@@ -41,7 +42,7 @@ N<sup>3</sup>/6-N<sup>2</sup>/2+N/3 \~ N<sup>3</sup>/6。使用 \~f(N) 来表示
 
 ### 2. 增长数量级
 
-N<sup>3</sup>/6-N<sup>2</sup>/2+N/3 的增长数量级为 O(N<sup>3</sup>)。增长数量级将算法与它的实现隔离开来，一个算法的增长数量级为 O(N<sup>3</sup>)与它是否用 Java 实现，是否运行于特定计算机上无关。
+N<sup>3</sup>/6-N<sup>2</sup>/2+N/3 的增长数量级为 O(N<sup>3</sup>)。增长数量级将算法与它的实现隔离开来，一个算法的增长数量级为 O(N<sup>3</sup>) 与它是否用 Java 实现，是否运行于特定计算机上无关。
 
 ### 3. 内循环
 
@@ -57,13 +58,13 @@ ThreeSum 用于统计一个数组中三元组的和为 0 的数量。
 
 ```java
 public class ThreeSum {
-    public static int count(int[] a) {
-        int N = a.length;
+    public int count(int[] nums) {
+        int N = nums.length;
         int cnt = 0;
         for (int i = 0; i < N; i++) {
             for (int j = i + 1; j < N; j++) {
                 for (int k = j + 1; k < N; k++) {
-                    if (a[i] + a[j] + a[k] == 0) {
+                    if (nums[i] + nums[j] + nums[k] == 0) {
                         cnt++;
                     }
                 }
@@ -74,7 +75,7 @@ public class ThreeSum {
 }
 ```
 
-该算法的内循环为 if (a[i] + a[j] + a[k] == 0) 语句，总共执行的次数为 N(N-1)(N-2) =  N<sup>3</sup>/6 - N<sup>2</sup>/2 + N/3，因此它的近似执行次数为 \~N<sup>3</sup>/6，增长数量级为 N<sup>3</sup>。
+该算法的内循环为 if(a[i]+a[j]+a[k]==0) 语句，总共执行的次数为 N(N-1)(N-2) =  N<sup>3</sup>/6-N<sup>2</sup>/2+N/3，因此它的近似执行次数为 \~N<sup>3</sup>/6，增长数量级为 N<sup>3</sup>。
 
 <font size=4> **改进** </font></br>
 
@@ -84,21 +85,31 @@ public class ThreeSum {
 
 ```java
 public class ThreeSumFast {
-    public static int count(int[] a) {
-        Arrays.sort(a);
-        int N = a.length;
+    public int count(int[] nums) {
+        Arrays.sort(nums);
+        int N = nums.length;
         int cnt = 0;
         for (int i = 0; i < N; i++) {
             for (int j = i + 1; j < N; j++) {
-                // rank() 方法返回元素在数组中的下标，如果元素不存在，这里会返回 -1。
                 // 应该注意这里的下标必须大于 j，否则会重复统计。
-                if (BinarySearch.rank(-a[i] - a[j], a) > j) {
+                if (binarySearch(nums, -nums[i] - nums[j]) > j) {
                     cnt++;
-            }
+                }
             }
         }
         return cnt;
     }
+
+    private int binarySearch(int[] nums, int target) {
+        int l = 0, h = nums.length - 1;
+        while (l <= h) {
+            int m = l + (h - l) / 2;
+            if (nums[m] == target) return m;
+            else if (nums[m] < target) h = m - 1;
+            else l = m + 1;
+        }
+        return -1;
+    }
 }
 ```
 
@@ -109,7 +120,7 @@ public class ThreeSumFast {
 例如对于暴力方法的 ThreeSum 算法，近似时间为 \~N<sup>3</sup>/6。进行如下实验：多次运行该算法，每次取的 N 值为前一次的两倍，统计每次执行的时间，并统计本次运行时间与前一次运行时间的比值，得到如下结果：
 
 | N | Time | Ratio |
-| --- | --- | --- |
+| :---: | :---: | :---: |
 | 250 | 0.0 | 2.7 |
 | 500 | 0.0 | 4.8 |
 | 1000 | 0.1 | 6.9 |
@@ -305,17 +316,21 @@ public class Queue<Item> {
 
 用于解决动态连通性问题，能动态连接两个点，并且判断两个点是否连通。
 
-<div align="center"> <img src="../pics//7e9d0ef2-acd8-44c0-a76b-f0d2f5e76738.png" width="300"/> </div><br>
+<div align="center"> <img src="../pics//dc752c5b-bb59-4616-bf9c-21276690a24d.png"/> </div><br>
 
 <font size=4>  **API**  </font> <br>
 
-<div align="center"> <img src="../pics//867abc3c-8403-43ef-8847-c1fea32996a5.png" width="800"/> </div><br>
+| 方法 | 描述 |
+| ---: | :--- |
+| UF(int N) | 构造一个大小为 N 的并查集 |
+| void union(int p, int q) | 连接 p 和 q 节点 |
+| int find(int p) | 查找 p 所在的连通分量 |
+| boolean connected(int p, int q) | 判断 p 和 q 节点是否连通 |
 
 <font size=4>  **基本数据结构**  </font> <br>
 
 ```java
 public class UF {
-    // 使用 id 数组来保存点的连通信息
     private int[] id;
 
     public UF(int N) {
@@ -333,9 +348,13 @@ public class UF {
 
 ## quick-find
 
-保证在同一连通分量的所有节点的 id 值相等。
+可以快速进行 find 操作，即可以快速判断两个节点是否连通。
 
-这种方法可以快速取得一个节点的 id 值，并且判断两个节点是否连通。但是 union 的操作代价却很高，需要将其中一个连通分量中的所有节点 id 值都修改为另一个节点的 id 值。
+同一连通分量的所有节点的 id 值相等。
+
+但是 union 操作代价却很高，需要将其中一个连通分量中的所有节点 id 值都修改为另一个节点的 id 值。
+
+<div align="center"> <img src="../pics//0120d24f-58a2-4848-afff-ce2b76d38ffc.png"/> </div><br>
 
 ```java
     public int find(int p) {
@@ -354,9 +373,11 @@ public class UF {
 
 ## quick-union
 
-在 union 时只将节点的 id 值指向另一个节点 id 值，不直接用 id 来存储所属的连通分量。这样就构成一个倒置的树形结构，应该注意的是根节点需要指向自己。查找一个节点所属的连通分量时，要一直向上查找直到根节点，并使用根节点的 id 值作为本连通分量的 id 值。
+可以快速进行 union 操作，只需要修改一个节点的 id 值即可。
 
-<div align="center"> <img src="../pics//ae1f3f27-cb47-436d-b8a2-185618851b57.png" width="600"/> </div><br>
+但是 find 操作开销很大，因为同一个连通分量的节点 id 值不同，id 值只是用来指向另一个节点。因此需要一段进行查找操作，直到找到最上层的节点。
+
+<div align="center"> <img src="../pics//d645d71f-007e-4228-8311-6b1fb61fb232.png"/> </div><br>
 
 ```java
     public int find(int p) {
@@ -374,7 +395,7 @@ public class UF {
 
 这种方法可以快速进行 union 操作，但是 find 操作和树高成正比，最坏的情况下树的高度为触点的数目。
 
-<div align="center"> <img src="../pics//dcbd1473-96c3-4ace-8b69-2c9342615e7e.png" width="300"/> </div><br>
+<div align="center"> <img src="../pics//bfbb11e2-d208-4efa-b97b-24cd40467cd8.png"/> </div><br>
 
 ## 加权 quick-union
 
@@ -382,7 +403,7 @@ public class UF {
 
 理论研究证明，加权 quick-union 算法构造的树深度最多不超过 logN。
 
-<div align="center"> <img src="../pics//7f9a9342-1491-436d-bdd2-0fa94eb0e4f1.png" width="500"/> </div><br>
+<div align="center"> <img src="../pics//095720ee-84b3-42ff-af71-70ceb6a2f4a3.png"/> </div><br>
 
 ```java
 public class WeightedQuickUnionUF {
@@ -429,7 +450,12 @@ public class WeightedQuickUnionUF {
 
 ## 各种 union-find 算法的比较
 
-<div align="center"> <img src="../pics//cae894a9-2424-4de4-ab41-c15d7054a5e7.png" width="800"/> </div><br>
+| 算法 | union | find |
+| :---: | :---: | :---: |
+| quick-find | N | 1 |
+| quick-union | 树高 | 树高 |
+| 加权 quick-union | lgN | lgN |
+| 路径压缩的加权 quick-union | 非常接近 1 | 非常接近 1 |
 
 # 四、排序
 
@@ -1596,3 +1622,7 @@ public class SparseVector {
 }
 ```
 
+# 参考资料
+
+- Sedgewick R. Algorithms[M]. Pearson Education India, 1988.
+