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CyC2018 2018-03-11 23:55:32 +08:00
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notes/算法.md
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@ -84,7 +84,7 @@
指数函数可以转换为线性函数，从而在函数图像上显示的更直观。
T(N)=aN<sup>3</sup> 转换为 lg(T(N))=3lgN+lga
<img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?T(N)=aN^3"/> 转换为 <img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?lg(T(N))=3lgN+lga"/>
<div align="center"> <img src="../pics//5510045a-8f32-487f-a756-463e51a6dab0.png"/> </div><br>
@ -133,7 +133,7 @@ public class ThreeSum {
}
```
该程序的内循环为 if (a[i] + a[j] + a[k] == 0) 语句，总共执行的次数为 N<sup>3</sup>/6-N<sup>2</sup>/2+N/3，因此它的近似执行次数为 \~N<sup>3</sup>/6，增长数量级为 N<sup>3</sup>。
该程序的内循环为 if (a[i] + a[j] + a[k] == 0) 语句，总共执行的次数为 N<sup>3</sup>/6 - N<sup>2</sup>/2 + N/3，因此它的近似执行次数为 \~N<sup>3</sup>/6，增长数量级为 N<sup>3</sup>。
**改进**
@ -149,12 +149,11 @@ public class ThreeSumFast {
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = i + 1; j < N; j++) {
for (int k = j + 1; k < N; k++) {
// rank() 方法返回元素在数组中的下标，如果元素不存在，这里会返回 -1。应该注意这里的下标必须大于 j，这样就不会重复统计了。
if (BinarySearch.rank(-a[i] - a[j], a) > j) {
cnt++;
}
}
// rank() 方法返回元素在数组中的下标，如果元素不存在，这里会返回 -1。
// 应该注意这里的下标必须大于 j，这样就不会重复统计了。
if (BinarySearch.rank(-a[i] - a[j], a) > j) {
cnt++;
}
}
}
return cnt;
@ -190,8 +189,7 @@ public class ThreeSumFast {
**均摊分析**
将所有操作的总成本所以操作总数来将成本均摊。例如对一个空栈进行 N 次连续的 push() 调用需要访问数组的元素为 N+4+8+16+...+2N=5N-4（N 是向数组写入元素，其余的都是调整数组大小时进行复制需要的访问数组操作），均摊后每次操作访问数组的平均次数为常数。
将所有操作的总成本除于操作总数来将成本均摊。例如对一个空栈进行 N 次连续的 push() 调用需要访问数组的元素为 N+4+8+16+...+2N=5N-4（N 是向数组写入元素，其余的都是调整数组大小时进行复制需要的访问数组操作），均摊后每次操作访问数组的平均次数为常数。
# 排序
@ -219,7 +217,7 @@ private void exch(Comparable[] a, int i, int j){
### 1.2 选择排序
找到数组中的最小元素，然后将它与数组的第一个元素交换位置。然后再从剩下的元素中找到最小的元素，将它与数组的第二个元素交换位置。不断进行这样的操作，直到将整个数组排序。
找到数组中的最小元素，将它与数组的第一个元素交换位置。再从剩下的元素中找到最小的元素，将它与数组的第二个元素交换位置。不断进行这样的操作，直到将整个数组排序。
<div align="center"> <img src="../pics//222768a7-914f-4d64-b874-d98f3b926fb6.jpg"/> </div><br>
@ -242,7 +240,7 @@ public class Selection {
### 1.3 插入排序
将一个元素插入到已排序的数组中，使得插入之后的数组也是有序的。插入排序从左到右插入每个元素，每次插入之后左部的子数组是有序的。
入排序从左到右进行，每次都将当前元素插入到左部已经排序的数组中，使得插入之后左部数组依然有序。
<div align="center"> <img src="../pics//065c3bbb-3ea0-4dbf-8f26-01d0e0ba7db7.png"/> </div><br>
@ -283,7 +281,7 @@ public class Shell {
int N = a.length;
int h = 1;
while (h < N / 3) {
h = 3 * h + 1;// 1, 4, 13, 40, ...
h = 3 * h + 1; // 1, 4, 13, 40, ...
}
while (h >= 1) {
for (int i = h; i < N; i++) {
@ -297,7 +295,7 @@ public class Shell {
}
```
希尔排序的运行时间达不到平方级别，使用递增序列 1, 4, 13, 40, ... 的希尔排序所需要的比较次数不会超过 N 的若干倍乘于递增序列的长度。后面介绍的高级排序算法只会比希尔排序快两倍左右。
希尔排序的运行时间达不到平方级别，使用递增序列 1, 4, 13, 40, ... 的希尔排序所需要的比较次数不会超过 N 的若干倍乘于递增序列的长度。后面介绍的高级排序算法只会比希尔排序快两倍左右。
## 2 归并排序
@ -307,6 +305,8 @@ public class Shell {
### 2.1 归并方法
归并方法将数组中两个已经排序的部分归并成一个。
```java
public class MergeSort {
private static Comparable[] aux;
@ -349,7 +349,7 @@ private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
<div align="center"> <img src="../pics//c7665f73-c52f-4ce4-aed3-592bbd76265b.png"/> </div><br>
很容易看出该排序算法的时间复杂度为 O(Nlg<sub>N</sub>)。
因为每次都将问题对半分成两个子问题，而这种对半分的算法复杂度一般为 O(Nlg<sub>N</sub>)，因此该归并排序方法的时间复杂度也为 O(Nlg<sub>N</sub>)。
因为小数组的递归操作会过于频繁，因此使用插入排序来处理小数组将会获得更高的性能。