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47
notes/算法.md
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@ -1,6 +1,5 @@
<!-- GFM-TOC -->
* [一、算法分析](#一算法分析)
* [函数转换](#函数转换)
* [数学模型](#数学模型)
* [ThreeSum](#threesum)
* [倍率实验](#倍率实验)
@ -34,31 +33,15 @@
# 一、算法分析
## 函数转换
指数函数可以转换为线性函数，从而在函数图像上显示的更直观。例如
<div align="center"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?T(N)=aN^3"/></div> <br>
可以在其两端同时取对数，得到：
<div align="center"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?log(T(N))=3logN+loga"/></div> <br>
<div align="center"> <img src="../pics//a9098783-c24a-45b2-a226-725a59b6768e.png" width="800"/> </div><br>
## 数学模型
### 1. 近似
使用 \~f(N) 来表示所有随着 N 的增大除以 f(N) 的结果趋近于 1 的函数，例如 N<sup>3</sup>/6-N<sup>2</sup>/2+N/3 \~ N<sup>3</sup>/6。
<div align="center"> <img src="../pics//81eb9879-40f2-421a-87de-2b953cfe8c32.png" width="800"/> </div><br>
N<sup>3</sup>/6-N<sup>2</sup>/2+N/3 \~ N<sup>3</sup>/6。使用 \~f(N) 来表示所有随着 N 的增大除以 f(N) 的结果趋近于 1 的函数。
### 2. 增长数量级
增长数量级将算法与它的实现隔离开来，一个算法的增长数量级为 N<sup>3</sup> 与它是否用 Java 实现，是否运行于特定计算机上无关。
<div align="center"> <img src="../pics//051760ba-e658-401f-9a1c-15adcb405191.png" width="800"/> </div><br>
N<sup>3</sup>/6-N<sup>2</sup>/2+N/3 的增长数量级为 O(N<sup>3</sup>)。增长数量级将算法与它的实现隔离开来，一个算法的增长数量级为 O(N<sup>3</sup>)与它是否用 Java 实现，是否运行于特定计算机上无关。
### 3. 内循环
@ -91,7 +74,7 @@ public class ThreeSum {
}
```
该算法的内循环为`if (a[i] + a[j] + a[k] == 0)`语句，总共执行的次数为 N(N-1)(N-2) = N<sup>3</sup>/6 - N<sup>2</sup>/2 + N/3，因此它的近似执行次数为 \~N<sup>3</sup>/6，增长数量级为 N<sup>3</sup>。
该算法的内循环为 if (a[i] + a[j] + a[k] == 0) 语句，总共执行的次数为 N(N-1)(N-2) = N<sup>3</sup>/6 - N<sup>2</sup>/2 + N/3，因此它的近似执行次数为 \~N<sup>3</sup>/6，增长数量级为 N<sup>3</sup>。
<font size=4> **改进** </font></br>
@ -125,7 +108,14 @@ public class ThreeSumFast {
例如对于暴力方法的 ThreeSum 算法，近似时间为 \~N<sup>3</sup>/6。进行如下实验：多次运行该算法，每次取的 N 值为前一次的两倍，统计每次执行的时间，并统计本次运行时间与前一次运行时间的比值，得到如下结果：
<div align="center"> <img src="../pics//2093ccfa-e560-44f3-84c7-487d66451708.png" width="300"/> </div><br>
| N | Time | Ratio |
| --- | --- | --- |
| 250 | 0.0 | 2.7 |
| 500 | 0.0 | 4.8 |
| 1000 | 0.1 | 6.9 |
| 2000 | 0.8 | 7.7 |
| 4000 | 6.4 | 8.0 |
| 8000 | 51.1 | 8.0 |
可以看到，T(2N)/T(N) \~ 2<sup>3</sup>，因此可以确定 T(N) \~ aN<sup>3</sup>logN。
@ -155,9 +145,7 @@ public class ThreeSumFast {
## 栈
first-in-last-out(FILO)
<div align="center"> <img src="../pics//cc7bfdeb-452e-4fae-9bc8-323338b0dedb.png" width="400"/> </div><br>
> First-In-Last-Out
<font size=4> **1. 数组实现** </font></br>
@ -220,12 +208,6 @@ public class ResizeArrayStack<Item> implements Iterable<Item> {
}
```
上面实现使用了泛型，Java 不能直接创建泛型数组，只能使用转型来创建。
```java
Item[] arr = (Item[]) new Object[N];
```
<font size=4> **2. 链表实现** </font></br>
需要使用链表的头插法来实现，因为头插法中最后压入栈的元素在链表的开头，它的 next 指针指向前一个压入栈的元素，在弹出元素使就可以通过 next 指针遍历到前一个压入栈的元素从而让这个元素称为新的栈顶元素。
@ -265,11 +247,10 @@ public class Stack<Item> {
}
}
```
## 队列
first-in-first-out(FIFO)
<div align="center"> <img src="../pics//d9efd6bd-3f34-497e-911c-16d5ea38ce88.png" width="400"/> </div><br>
> First-In-First-Out
下面是队列的链表实现，需要维护 first 和 last 节点指针，分别指向队首和队尾。