CS-Notes/notes/剑指 Offer 题解 - 10~19.md

<!-- GFM-TOC -->
* [10.1 斐波那契数列](#101-斐波那契数列)
* [10.2 矩形覆盖](#102-矩形覆盖)
* [10.3 跳台阶](#103-跳台阶)
* [10.4 变态跳台阶](#104-变态跳台阶)
* [11. 旋转数组的最小数字](#11-旋转数组的最小数字)
* [12. 矩阵中的路径](#12-矩阵中的路径)
* [13. 机器人的运动范围](#13-机器人的运动范围)
* [14. 剪绳子](#14-剪绳子)
* [15. 二进制中 1 的个数](#15-二进制中-1-的个数)
* [16. 数值的整数次方](#16-数值的整数次方)
* [17. 打印从 1 到最大的 n 位数](#17-打印从-1-到最大的-n-位数)
* [18.1 在 O(1) 时间内删除链表节点](#181-在-o1-时间内删除链表节点)
* [18.2 删除链表中重复的结点](#182-删除链表中重复的结点)
* [19. 正则表达式匹配](#19-正则表达式匹配)
<!-- GFM-TOC -->


# 10.1 斐波那契数列

[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/c6c7742f5ba7442aada113136ddea0c3?tpId=13&tqId=11160&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)

## 题目描述

求斐波那契数列的第 n 项，n <= 39。

<!--<div align="center"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?f(n)=\left\{\begin{array}{rcl}0&&{n=0}\\1&&{n=1}\\f(n-1)+f(n-2)&&{n>1}\end{array}\right." class="mathjax-pic"/></div> <br> -->

<div align="center"> <img src="pics/45be9587-6069-4ab7-b9ac-840db1a53744.jpg" width="300px"> </div><br>

## 解题思路

如果使用递归求解，会重复计算一些子问题。例如，计算 f(4) 需要计算 f(3) 和 f(2)，计算 f(3) 需要计算 f(2) 和 f(1)，可以看到 f(2) 被重复计算了。

<div align="center"> <img src="pics/c13e2a3d-b01c-4a08-a69b-db2c4e821e09.png" width="350px"/> </div><br>

递归是将一个问题划分成多个子问题求解，动态规划也是如此，但是动态规划会把子问题的解缓存起来，从而避免重复求解子问题。

```java
public int Fibonacci(int n) {
    if (n <= 1)
        return n;
    int[] fib = new int[n + 1];
    fib[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
    return fib[n];
}
```

考虑到第 i 项只与第 i-1 和第 i-2 项有关，因此只需要存储前两项的值就能求解第 i 项，从而将空间复杂度由 O(N) 降低为 O(1)。

```java
public int Fibonacci(int n) {
    if (n <= 1)
        return n;
    int pre2 = 0, pre1 = 1;
    int fib = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        fib = pre2 + pre1;
        pre2 = pre1;
        pre1 = fib;
    }
    return fib;
}
```

由于待求解的 n 小于 40，因此可以将前 40 项的结果先进行计算，之后就能以 O(1) 时间复杂度得到第 n 项的值。

```java
public class Solution {

    private int[] fib = new int[40];

    public Solution() {
        fib[1] = 1;
        for (int i = 2; i < fib.length; i++)
            fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];
    }

    public int Fibonacci(int n) {
        return fib[n];
    }
}
```

# 10.2 矩形覆盖

[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/72a5a919508a4251859fb2cfb987a0e6?tpId=13&tqId=11163&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)

## 题目描述

我们可以用 2\*1 的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用 n 个 2\*1 的小矩形无重叠地覆盖一个 2\*n 的大矩形，总共有多少种方法？

<div align="center"> <img src="pics/b903fda8-07d0-46a7-91a7-e803892895cf.gif" width="100px"> </div><br>

## 解题思路

当 n 为 1 时，只有一种覆盖方法：

<div align="center"> <img src="pics/f6e146f1-57ad-411b-beb3-770a142164ef.png" width="100px"> </div><br>

当 n 为 2 时，有两种覆盖方法：

<div align="center"> <img src="pics/fb3b8f7a-4293-4a38-aae1-62284db979a3.png" width="200px"> </div><br>

要覆盖 2\*n 的大矩形，可以先覆盖 2\*1 的矩形，再覆盖 2\*(n-1) 的矩形；或者先覆盖 2\*2 的矩形，再覆盖 2\*(n-2) 的矩形。而覆盖 2\*(n-1) 和 2\*(n-2) 的矩形可以看成子问题。该问题的递推公式如下：

<!-- <div align="center"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?f(n)=\left\{\begin{array}{rcl}1&&{n=1}\\2&&{n=2}\\f(n-1)+f(n-2)&&{n>1}\end{array}\right." class="mathjax-pic"/></div> <br> -->

<div align="center"> <img src="pics/508c6e52-9f93-44ed-b6b9-e69050e14807.jpg" width="350px"> </div><br>

```java
public int RectCover(int n) {
    if (n <= 2)
        return n;
    int pre2 = 1, pre1 = 2;
    int result = 0;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        result = pre2 + pre1;
        pre2 = pre1;
        pre1 = result;
    }
    return result;
}
```

# 10.3 跳台阶

[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/8c82a5b80378478f9484d87d1c5f12a4?tpId=13&tqId=11161&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)

## 题目描述

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

<div align="center"> <img src="pics/9dae7475-934f-42e5-b3b3-12724337170a.png" width="380px"> </div><br>

## 解题思路

当 n = 1 时，只有一种跳法：

<div align="center"> <img src="pics/72aac98a-d5df-4bfa-a71a-4bb16a87474c.png" width="250px"> </div><br>

当 n = 2 时，有两种跳法：

<div align="center"> <img src="pics/1b80288d-1b35-4cd3-aa17-7e27ab9a2389.png" width="300px"> </div><br>

跳 n 阶台阶，可以先跳 1 阶台阶，再跳 n-1 阶台阶；或者先跳 2 阶台阶，再跳 n-2 阶台阶。而 n-1 和 n-2 阶台阶的跳法可以看成子问题，该问题的递推公式为：

<div align="center"> <img src="pics/508c6e52-9f93-44ed-b6b9-e69050e14807.jpg" width="350px"> </div><br>

```java
public int JumpFloor(int n) {
    if (n <= 2)
        return n;
    int pre2 = 1, pre1 = 2;
    int result = 1;
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        result = pre2 + pre1;
        pre2 = pre1;
        pre1 = result;
    }
    return result;
}
```

# 10.4 变态跳台阶

[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/22243d016f6b47f2a6928b4313c85387?tpId=13&tqId=11162&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)

## 题目描述

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级... 它也可以跳上 n 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

<div align="center"> <img src="pics/cd411a94-3786-4c94-9e08-f28320e010d5.png" width="380px"> </div><br>

## 解题思路

### 动态规划

```java
public int JumpFloorII(int target) {
    int[] dp = new int[target];
    Arrays.fill(dp, 1);
    for (int i = 1; i < target; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            dp[i] += dp[j];
    return dp[target - 1];
}
```

### 数学推导

跳上 n-1 级台阶，可以从 n-2 级跳 1 级上去，也可以从 n-3 级跳 2 级上去...，那么

```
f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ... + f(0)
```

同样，跳上 n 级台阶，可以从 n-1 级跳 1 级上去，也可以从 n-2 级跳 2 级上去... ，那么

```
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(0)
```

综上可得

```
f(n) - f(n-1) = f(n-1)
```

即

```
f(n) = 2*f(n-1)
```

所以 f(n) 是一个等比数列

```source-java
public int JumpFloorII(int target) {
    return (int) Math.pow(2, target - 1);
}
```


# 11. 旋转数组的最小数字

[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/9f3231a991af4f55b95579b44b7a01ba?tpId=13&tqId=11159&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)

## 题目描述

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个非递减排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。

例如数组 {3, 4, 5, 1, 2} 为 {1, 2, 3, 4, 5} 的一个旋转，该数组的最小值为 1。

## 解题思路

在一个有序数组中查找一个元素可以用二分查找，二分查找也称为折半查找，每次都能将查找区间减半，这种折半特性的算法时间复杂度都为 O(logN)。

本题可以修改二分查找算法进行求解：

- 当 nums[m] <= nums[h] 的情况下，说明解在 [l, m] 之间，此时令 h = m；
- 否则解在 [m + 1, h] 之间，令 l = m + 1。

```java
public int minNumberInRotateArray(int[] nums) {
    if (nums.length == 0)
        return 0;
    int l = 0, h = nums.length - 1;
    while (l < h) {
        int m = l + (h - l) / 2;
        if (nums[m] <= nums[h])
            h = m;
        else
            l = m + 1;
    }
    return nums[l];
}
```

如果数组元素允许重复的话，那么就会出现一个特殊的情况：nums[l] == nums[m] == nums[h]，那么此时无法确定解在哪个区间，需要切换到顺序查找。例如对于数组 {1,1,1,0,1}，l、m 和 h 指向的数都为 1，此时无法知道最小数字 0 在哪个区间。

```java
public int minNumberInRotateArray(int[] nums) {
    if (nums.length == 0)
        return 0;
    int l = 0, h = nums.length - 1;
    while (l < h) {
        int m = l + (h - l) / 2;
        if (nums[l] == nums[m] && nums[m] == nums[h])
            return minNumber(nums, l, h);
        else if (nums[m] <= nums[h])
            h = m;
        else
            l = m + 1;
    }
    return nums[l];
}

private int minNumber(int[] nums, int l, int h) {
    for (int i = l; i < h; i++)
        if (nums[i] > nums[i + 1])
            return nums[i + 1];
    return nums[l];
}
```

# 12. 矩阵中的路径

[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/c61c6999eecb4b8f88a98f66b273a3cc?tpId=13&tqId=11218&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)

## 题目描述

请设计一个函数，用来判断在一个矩阵中是否存在一条包含某字符串所有字符的路径。路径可以从矩阵中的任意一个格子开始，每一步可以在矩阵中向左，向右，向上，向下移动一个格子。如果一条路径经过了矩阵中的某一个格子，则该路径不能再进入该格子。

例如下面的矩阵包含了一条 bfce 路径。

<div align="center"> <img src="pics/1db1c7ea-0443-478b-8df9-7e33b1336cc4.png" width="200px"> </div><br>

## 解题思路

```java
private final static int[][] next = {{0, -1}, {0, 1}, {-1, 0}, {1, 0}};
private int rows;
private int cols;

public boolean hasPath(char[] array, int rows, int cols, char[] str) {
    if (rows == 0 || cols == 0)
        return false;
    this.rows = rows;
    this.cols = cols;
    boolean[][] marked = new boolean[rows][cols];
    char[][] matrix = buildMatrix(array);
    for (int i = 0; i < rows; i++)
        for (int j = 0; j < cols; j++)
            if (backtracking(matrix, str, marked, 0, i, j))
                return true;
    return false;
}

private boolean backtracking(char[][] matrix, char[] str, boolean[][] marked, int pathLen, int r, int c) {
    if (pathLen == str.length)
        return true;
    if (r < 0 || r >= rows || c < 0 || c >= cols || matrix[r][c] != str[pathLen] || marked[r][c])
        return false;
    marked[r][c] = true;
    for (int[] n : next)
        if (backtracking(matrix, str, marked, pathLen + 1, r + n[0], c + n[1]))
            return true;
    marked[r][c] = false;
    return false;
}

private char[][] buildMatrix(char[] array) {
    char[][] matrix = new char[rows][cols];
    for (int i = 0, idx = 0; i < rows; i++)
        for (int j = 0; j < cols; j++)
            matrix[i][j] = array[idx++];
    return matrix;
}
```

# 13. 机器人的运动范围

[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/6e5207314b5241fb83f2329e89fdecc8?tpId=13&tqId=11219&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)

## 题目描述

地上有一个 m 行和 n 列的方格。一个机器人从坐标 (0, 0) 的格子开始移动，每一次只能向左右上下四个方向移动一格，但是不能进入行坐标和列坐标的数位之和大于 k 的格子。

例如，当 k 为 18 时，机器人能够进入方格 (35,37)，因为 3+5+3+7=18。但是，它不能进入方格 (35,38)，因为 3+5+3+8=19。请问该机器人能够达到多少个格子？

## 解题思路

```java
private static final int[][] next = {{0, -1}, {0, 1}, {-1, 0}, {1, 0}};
private int cnt = 0;
private int rows;
private int cols;
private int threshold;
private int[][] digitSum;

public int movingCount(int threshold, int rows, int cols) {
    this.rows = rows;
    this.cols = cols;
    this.threshold = threshold;
    initDigitSum();
    boolean[][] marked = new boolean[rows][cols];
    dfs(marked, 0, 0);
    return cnt;
}

private void dfs(boolean[][] marked, int r, int c) {
    if (r < 0 || r >= rows || c < 0 || c >= cols || marked[r][c])
        return;
    marked[r][c] = true;
    if (this.digitSum[r][c] > this.threshold)
        return;
    cnt++;
    for (int[] n : next)
        dfs(marked, r + n[0], c + n[1]);
}

private void initDigitSum() {
    int[] digitSumOne = new int[Math.max(rows, cols)];
    for (int i = 0; i < digitSumOne.length; i++) {
        int n = i;
        while (n > 0) {
            digitSumOne[i] += n % 10;
            n /= 10;
        }
    }
    this.digitSum = new int[rows][cols];
    for (int i = 0; i < this.rows; i++)
        for (int j = 0; j < this.cols; j++)
            this.digitSum[i][j] = digitSumOne[i] + digitSumOne[j];
}
```

# 14. 剪绳子

[Leetcode](https://leetcode.com/problems/integer-break/description/)

## 题目描述

把一根绳子剪成多段，并且使得每段的长度乘积最大。

```html
n = 2
return 1 (2 = 1 + 1)

n = 10
return 36 (10 = 3 + 3 + 4)
```

## 解题思路

### 贪心

尽可能多剪长度为 3 的绳子，并且不允许有长度为 1 的绳子出现。如果出现了，就从已经切好长度为 3 的绳子中拿出一段与长度为 1 的绳子重新组合，把它们切成两段长度为 2 的绳子。

证明：当 n >= 5 时，3(n - 3) - n = 2n - 9 > 0，且 2(n - 2) - n = n - 4 > 0。因此在 n >= 5 的情况下，将绳子剪成一段为 2 或者 3，得到的乘积会更大。又因为 3(n - 3) - 2(n - 2) = n - 5 >= 0，所以剪成一段长度为 3 比长度为 2 得到的乘积更大。

```java
public int integerBreak(int n) {
    if (n < 2)
        return 0;
    if (n == 2)
        return 1;
    if (n == 3)
        return 2;
    int timesOf3 = n / 3;
    if (n - timesOf3 * 3 == 1)
        timesOf3--;
    int timesOf2 = (n - timesOf3 * 3) / 2;
    return (int) (Math.pow(3, timesOf3)) * (int) (Math.pow(2, timesOf2));
}
```

### 动态规划

```java
public int integerBreak(int n) {
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j < i; j++)
            dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), dp[j] * (i - j)));
    return dp[n];
}
```

# 15. 二进制中 1 的个数

[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/8ee967e43c2c4ec193b040ea7fbb10b8?tpId=13&tqId=11164&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)

## 题目描述

输入一个整数，输出该数二进制表示中 1 的个数。

### n&(n-1)

该位运算去除 n 的位级表示中最低的那一位。

```
n       : 10110100
n-1     : 10110011
n&(n-1) : 10110000
```

时间复杂度：O(M)，其中 M 表示 1 的个数。


```java
public int NumberOf1(int n) {
    int cnt = 0;
    while (n != 0) {
        cnt++;
        n &= (n - 1);
    }
    return cnt;
}
```


### Integer.bitCount()

```java
public int NumberOf1(int n) {
    return Integer.bitCount(n);
}
```

# 16. 数值的整数次方

[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/1a834e5e3e1a4b7ba251417554e07c00?tpId=13&tqId=11165&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)

## 题目描述

给定一个 double 类型的浮点数 base 和 int 类型的整数 exponent，求 base 的 exponent 次方。

## 解题思路

下面的讨论中 x 代表 base，n 代表 exponent。

<!--<div align="center"><img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?x^n=\left\{\begin{array}{rcl}(x*x)^{n/2}&&{n\%2=0}\\x*(x*x)^{n/2}&&{n\%2=1}\end{array}\right." class="mathjax-pic"/></div> <br>-->

<div align="center"> <img src="pics/48b1d459-8832-4e92-938a-728aae730739.jpg" width="330px"> </div><br>


因为 (x\*x)<sup>n/2</sup> 可以通过递归求解，并且每次递归 n 都减小一半，因此整个算法的时间复杂度为 O(logN)。

```java
public double Power(double base, int exponent) {
    if (exponent == 0)
        return 1;
    if (exponent == 1)
        return base;
    boolean isNegative = false;
    if (exponent < 0) {
        exponent = -exponent;
        isNegative = true;
    }
    double pow = Power(base * base, exponent / 2);
    if (exponent % 2 != 0)
        pow = pow * base;
    return isNegative ? 1 / pow : pow;
}
```

# 17. 打印从 1 到最大的 n 位数

## 题目描述

输入数字 n，按顺序打印出从 1 到最大的 n 位十进制数。比如输入 3，则打印出 1、2、3 一直到最大的 3 位数即 999。

## 解题思路

由于 n 可能会非常大，因此不能直接用 int 表示数字，而是用 char 数组进行存储。

使用回溯法得到所有的数。

```java
public void print1ToMaxOfNDigits(int n) {
    if (n <= 0)
        return;
    char[] number = new char[n];
    print1ToMaxOfNDigits(number, 0);
}

private void print1ToMaxOfNDigits(char[] number, int digit) {
    if (digit == number.length) {
        printNumber(number);
        return;
    }
    for (int i = 0; i < 10; i++) {
        number[digit] = (char) (i + '0');
        print1ToMaxOfNDigits(number, digit + 1);
    }
}

private void printNumber(char[] number) {
    int index = 0;
    while (index < number.length && number[index] == '0')
        index++;
    while (index < number.length)
        System.out.print(number[index++]);
    System.out.println();
}
```

# 18.1 在 O(1) 时间内删除链表节点

## 解题思路

① 如果该节点不是尾节点，那么可以直接将下一个节点的值赋给该节点，然后令该节点指向下下个节点，再删除下一个节点，时间复杂度为 O(1)。

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② 如果链表只有一个节点，那么直接

② 否则，就需要先遍历链表，找到节点的前一个节点，然后让前一个节点指向 null，时间复杂度为 O(N)。

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综上，如果进行 N 次操作，那么大约需要操作节点的次数为 N-1+N=2N-1，其中 N-1 表示 N-1 个不是尾节点的每个节点以 O(1) 的时间复杂度操作节点的总次数，N 表示 1 个尾节点以 O(N) 的时间复杂度操作节点的总次数。(2N-1)/N \~ 2，因此该算法的平均时间复杂度为 O(1)。

```java
public ListNode deleteNode(ListNode head, ListNode tobeDelete) {
    if (head == null || tobeDelete == null)
        return null;
    if (tobeDelete.next != null) {
        // 要删除的节点不是尾节点
        ListNode next = tobeDelete.next;
        tobeDelete.val = next.val;
        tobeDelete.next = next.next;
    } else {
        if (head == tobeDelete)
             // 只有一个节点
            head = null;
        else {
            ListNode cur = head;
            while (cur.next != tobeDelete)
                cur = cur.next;
            cur.next = null;
        }
    }
    return head;
}
```

# 18.2 删除链表中重复的结点

[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/fc533c45b73a41b0b44ccba763f866ef?tpId=13&tqId=11209&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)

## 题目描述

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## 解题描述

```java
public ListNode deleteDuplication(ListNode pHead) {
    if (pHead == null || pHead.next == null)
        return pHead;
    ListNode next = pHead.next;
    if (pHead.val == next.val) {
        while (next != null && pHead.val == next.val)
            next = next.next;
        return deleteDuplication(next);
    } else {
        pHead.next = deleteDuplication(pHead.next);
        return pHead;
    }
}
```

# 19. 正则表达式匹配

[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/45327ae22b7b413ea21df13ee7d6429c?tpId=13&tqId=11205&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking)

## 题目描述

请实现一个函数用来匹配包括 '.' 和 '\*' 的正则表达式。模式中的字符 '.' 表示任意一个字符，而 '\*' 表示它前面的字符可以出现任意次（包含 0 次）。

在本题中，匹配是指字符串的所有字符匹配整个模式。例如，字符串 "aaa" 与模式 "a.a" 和 "ab\*ac\*a" 匹配，但是与 "aa.a" 和 "ab\*a" 均不匹配。

## 解题思路

应该注意到，'.' 是用来当做一个任意字符，而 '\*' 是用来重复前面的字符。这两个的作用不同，不能把 '.' 的作用和 '\*' 进行类比，从而把它当成重复前面字符一次。

```java
public boolean match(char[] str, char[] pattern) {

    int m = str.length, n = pattern.length;
    boolean[][] dp = new boolean[m + 1][n + 1];

    dp[0][0] = true;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (pattern[i - 1] == '*')
            dp[0][i] = dp[0][i - 2];

    for (int i = 1; i <= m; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (str[i - 1] == pattern[j - 1] || pattern[j - 1] == '.')
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            else if (pattern[j - 1] == '*')
                if (pattern[j - 2] == str[i - 1] || pattern[j - 2] == '.') {
                    dp[i][j] |= dp[i][j - 1]; // a* counts as single a
                    dp[i][j] |= dp[i - 1][j]; // a* counts as multiple a
                    dp[i][j] |= dp[i][j - 2]; // a* counts as empty
                } else
                    dp[i][j] = dp[i][j - 2];   // a* only counts as empty

    return dp[m][n];
}
```




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